Lý thuyết dãy số

1. Định nghĩa

a) Mỗi hàm số \(u\) xác định trên tập số nguyên dương \(\mathbb N\)^*  được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số). Kí hiệu:

                           \(u: {\mathbb N}^* \to \mathbb R\)

                                 \(n →  u(n)\)

Dãy số thường được viết dưới dạng khai triển u₁, u₂,u₃, ….,u_n,….,

trong đó u_n = u(n) là số hạng thứ n và gọi nó là số hạng tổng quát, u₁ là số hạng đàu của dãy số (u_n )

b) Mỗi hàm số u xác định trên tập M = {1, 2, 3, ..., m}, với \(m \in {\mathbb N}^*\)  được gọi là một dãy số hữu hạn   

Dạng khai triển của nó là: u₁, u₂,u₃, ….,um, trong đó u₁ là số hạng đầu, Um là số hạng cuối.

2. Cách cho một dãy số

a) Dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát.

Khi đó Un = f(n), trong đó f là một hàm số xác định trên \({\mathbb N}^*\)

Đây là cách khá thông dụng (giống như hàm số) và nếu biết giá trị của n (hay cúng chính là số thứ tự của số hạng) thì ta có thể tính ngay được Un.

b) Dãy số cho bằng phương pháp mô tả

Người ta cho một mệnh đề mô tả cách xác định các số hạng liên tiếp của dãy số. Tuy nhiên, thường thì không tìm ngay được Un với n tuỳ ý.

c) Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi (hay quy nạp)

- Cho số hạng thứ nhất (hoặc một vài số hạng đầu).

- Với n ≥ 2, cho một công thức tính Un nếu biết U_n-1 (hoặc một vài số hạng đứng trước đó)

Chẳng hạn, các công thức có thể là:

\(\left\{ \matrix{
{u_1} = a \hfill \cr
{u_n} = f({u_{n - 1}}),n \ge 2 \hfill \cr} \right.\)

 hoặc 

\(\left\{ \matrix{
{u_1} = a,{u_2} = b \hfill \cr
{u_n} = f({u_{n - 1}},{u_{n - 2}}),n \ge 3 \hfill \cr} \right.\)

3) Dãy số tăng, dãy số giảm

- Dãy số U_n được gọi là dãy số tăng nếu u_n+1 > u_n với mọi \(n \in {\mathbb N}^*\)  ;

- Dãy số U_n được gọi là dãy số giảm nếu u_n+1 < u_n với mọi \(n \in {\mathbb N}^*\) .

Phương pháp khảo sát tính đơn điệu của dãy số (U_n):

Phương pháp 1: Xét hiệu H = u_n+1 - u_n. 

- Nếu H > 0 với mọi \(n \in {\mathbb N}^*\) thì dãy số tăng

- Nếu H < 0 với mọi \(n \in {\mathbb N}^*\) thì dãy số giảm.

Phương pháp 2:

Nếu u_n > 0 với mọi \(n \in {\mathbb N}^*\)  thì lập tỉ số \({{{u_{n + 1}}} \over {{u_n}}}\), rồi so sánh với 1.

- Nếu \({{{u_{n + 1}}} \over {{u_n}}} > 1\) với mọi \(n \in {\mathbb N}^*\) thì dãy số tăng.

- Nếu  \({{{u_{n + 1}}} \over {{u_n}}} < 1\) với mọi \(n \in {\mathbb N}^*\) thì dãy số giảm.

4. Dãy số bị chặn

- Dãy số U_n được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho 

                  U_n ≤ M, với mọi \(n \in {\mathbb N}^*\)^.

- Dãy số U_n được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao cho

                  U_n ≥ m, với mọi \(n \in {\mathbb N}^*\)^.

- Dãy số U_n được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trêm vừa bị chặn dưới tức là tồn tại hai số m, M sao cho:

                  m ≤ U_n ≤ M, với mọi \(n \in {\mathbb N}^*\)