Bài 4 trang 92 SGK Đại số và Giải tích 11

Xét tính tăng, giảm của các dãy số \(u_n\) biết:

LG a

\(u_n= \dfrac{1}{n}-2\)

Phương pháp giải:

Để xét tính tăng, giảm có dãy số ta có 2 cách sau: 

Cách 1: Xét hiệu \(u_{n+1}-u_n\)

+) Nếu hiệu trên lớn hơn \(0\) chứng tỏ \(u_{n+1}>u_n\) do đó dãy số là dãy tăng.

+) Nếu hiệu trên nhỏ hơn \(0\) chứng tỏ \(u_{n+1}<u_n\) do đó dãy số là dãy giảm.

Cách 2: Xét thương \(\dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}\)

+) Nếu thương trên lớn hơn \(1\) chứng tỏ \(u_{n+1}>u_n\) do đó dãy số là dãy tăng.

+) Nếu thương trên nhỏ hơn \(1\) chứng tỏ \(u_{n+1}<u_n\) do đó dãy số là dãy giảm.

Lời giải chi tiết:

Xét hiệu

\({u_{n + 1}} - {u_n} = \dfrac{1}{{n + 1}} - 2 - \left( {\dfrac{1}{n} - 2} \right) \) \(= \dfrac{1}{{n + 1}} - \dfrac{1}{n}\)

Vì \(n + 1 > n \Rightarrow \dfrac{1}{{n + 1}} < \dfrac{1}{n}\) \( \Rightarrow \dfrac{1}{{n + 1}} - \dfrac{1}{n} < 0\)

\( \Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} < 0\,\,\forall n \in N*\)

Vậy dãy số đã cho là dãy số giảm.

LG b

\(u_n= \dfrac{n-1}{n+1}\)

Phương pháp giải:

Để xét tính tăng, giảm có dãy số ta có 2 cách sau: 

Cách 1: Xét hiệu \(u_{n+1}-u_n\)

+) Nếu hiệu trên lớn hơn \(0\) chứng tỏ \(u_{n+1}>u_n\) do đó dãy số là dãy tăng.

+) Nếu hiệu trên nhỏ hơn \(0\) chứng tỏ \(u_{n+1}<u_n\) do đó dãy số là dãy giảm.

Cách 2: Xét thương \(\dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}\)

+) Nếu thương trên lớn hơn \(1\) chứng tỏ \(u_{n+1}>u_n\) do đó dãy số là dãy tăng.

+) Nếu thương trên nhỏ hơn \(1\) chứng tỏ \(u_{n+1}<u_n\) do đó dãy số là dãy giảm.

Lời giải chi tiết:

Xét hiệu \(u_{n+1}-u_n= \dfrac{n+1-1}{n+1+1}-\dfrac{n-1}{n+1}\) \(=\dfrac{n}{n+2}-\dfrac{n-1}{n+1}\) \( = \dfrac{{n\left( {n + 1} \right) - \left( {n - 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}\) \(=  \dfrac{n^{2}+n- n^{2}-n+2}{(n+1)(n+2)}\) \(=\dfrac{2}{(n+1)(n+2)}>0\)

\(\Rightarrow u_{n+1}> u_n \forall n \in  {\mathbb N}\)

Vậy dãy số đã cho là dãy số tăng.

LG c

\({u_n} = {( - 1)^n}({2^n} + 1)\)

Phương pháp giải:

Để xét tính tăng, giảm có dãy số ta có 2 cách sau: 

Cách 1: Xét hiệu \(u_{n+1}-u_n\)

+) Nếu hiệu trên lớn hơn \(0\) chứng tỏ \(u_{n+1}>u_n\) do đó dãy số là dãy tăng.

+) Nếu hiệu trên nhỏ hơn \(0\) chứng tỏ \(u_{n+1}<u_n\) do đó dãy số là dãy giảm.

Cách 2: Xét thương \(\dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}\)

+) Nếu thương trên lớn hơn \(1\) chứng tỏ \(u_{n+1}>u_n\) do đó dãy số là dãy tăng.

+) Nếu thương trên nhỏ hơn \(1\) chứng tỏ \(u_{n+1}<u_n\) do đó dãy số là dãy giảm.

Lời giải chi tiết:

Các số hạng ban đầu có thừa số \((-1)^n\) (dãy đan dấu) là dãy số không tăng và cũng không giảm.

Vì:

+) \((-1)^n>0\) nếu \(n\) chẵn, do đó \(u_n>0\)

+) \((-1)^n<0\) nếu \(n\) lẻ, do đó \(u_n<0\)

LG d

\(u_n= \dfrac{2n+1}{5n+2}\)

Phương pháp giải:

Để xét tính tăng, giảm có dãy số ta có 2 cách sau: 

Cách 1: Xét hiệu \(u_{n+1}-u_n\)

+) Nếu hiệu trên lớn hơn \(0\) chứng tỏ \(u_{n+1}>u_n\) do đó dãy số là dãy tăng.

+) Nếu hiệu trên nhỏ hơn \(0\) chứng tỏ \(u_{n+1}<u_n\) do đó dãy số là dãy giảm.

Cách 2: Xét thương \(\dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}\)

+) Nếu thương trên lớn hơn \(1\) chứng tỏ \(u_{n+1}>u_n\) do đó dãy số là dãy tăng.

+) Nếu thương trên nhỏ hơn \(1\) chứng tỏ \(u_{n+1}<u_n\) do đó dãy số là dãy giảm.

Lời giải chi tiết:

Xét thương \( \dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}\) (vì \(u_n> 0\)  với mọi \(n \in  {\mathbb N}^*\) ) rồi so sánh với \(1\).

Ta có \( \dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}\) \( =\dfrac{2n+3}{5n+7}.\dfrac{5n+2}{2n+1}\) \(=\dfrac{10n^{2}+19n+6}{10n^{2}+19n+7}<1\) với mọi \(n \in  {\mathbb N}^*\)

(Vì \(10{n^2} + 19n + 6 < 10{n^2} + 19n + 7\))

Vậy dãy số đã cho là dãy số giảm dần.