Lý thuyết các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác

Nhắc lại hệ thức lượng trong tam giác vuông.

Cho tam giác $ABC$ vuông góc tại đỉnh $A$ ($\widehat{A} = 90^0$), ta có:

1. ${b^2} = ab';{c^2} = a.c'$

2. Định lý Pitago : ${a^2} = {b^2} + {c^2}$

3. $a.h = b.c$

4. $h^2= b’.c’$

5. $\frac{1}{h^{2}}$ = $\frac{1}{b^{2}}$ + $\frac{1}{c^{2}}$

1. Định lý cosin

Định lí: Trong một tam giác bất kì, bình phương một cạnh bằng tổng các bình phương của hai cạnh còn lại trừ đi hai lần tích của hai cạnh đó nhân với $cosin$ của góc xen giữa chúng.

Ta có các hệ thức sau:

$$\eqalign{
& {a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.{\mathop{\rm cosA}\nolimits} (1) \cr
& {b^2} = {a^2} + {c^2} - 2ac{\mathop{\rm cosB}\nolimits} (1) \cr
& {c^2} = {a^2} + {b^2} - 2bc\cos C(3) \cr} $$

$\cos A = \frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}$ $\cos B = \frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}$

$\cos C = \frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}$

Áp dụng: Tính độ dài đường trung tuyến của tam giác:

Cho tam giác $ABC$ có các cạnh $BC = a, CA = b$ và $AB = c$. Gọi $m_a,m_b$ và $m_c$ là độ dài các đường trung tuyến lần lượt vẽ từ các đỉnh $A, B, C$ của tam giác. Ta có

${m_{a}}^{2}$ = $\frac{2.(b^{2}+c^{2})-a^{2}}{4}$

${m_{b}}^{2}$ = $\frac{2.(a^{2}+c^{2})-b^{2}}{4}$

${m_{c}}^{2}$ = $\frac{2.(a^{2}+b^{2})-c^{2}}{4}$

2. Định lí sin

Định lí: Trong tam giác $ABC$ bất kỳ, tỉ số giữa một cạnh và sin của góc đối diện với cạnh đó bằng đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác, nghĩa là

$\frac{a}{sin A}= \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sin C} = 2R$

với $R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

Công thức tính diện tích tam giác:

Ta kí hiệu h_a, h_b và h_clà các đường cao của tam giác $ABC$ lần lượt vẽ từ các đình $A, B, C$ và $S$ là diện tích tam giác đó.

Diện tích $S$ của tam giác $ABC$ được tính theo một trong các công thức sau

$S = \frac{1}{2} ab \sin C= \frac{1}{2} bc \sin A = \frac{1}{2}ca \sin B$ (1)

$S = \frac{abc}{4R}$ (2)

$S = pr$ (3)

$S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$ (công thức Hê - rông) (4)

3. Giải tam giác và ứng dụng vào việc đo đạc

Giải tam giác : Giải tam giác là tìm một số yếu tố của tam giác khi đã biết các yếu tố khác của tam giác đó.

Muốn giải tam giác ta cần tìm mối liên hệ giữa các yếu tố đã cho với các yếu tố chưa biết của tam giác thông qua các hệ thức đã được nêu trong định lí cosin, định lí sin và các công thức tính diện tích tam giác.

Các bài toán về giải tam giác: Có 3 bài toán cơ bản về gỉải tam giác:

a) Giải tam giác khi biết một cạnh và hai góc.

Đối với bài toán này ta sử dụng định lí sin để tính cạnh còn lại

b) Giải tam giác khi biết hai cạnh và góc xen giữa

Đối với bài toán này ta sử dụng định lí cosin để tính cạnh thứ ba

c) Giải tam giác khi biết ba cạnh

Đối với bài toán này ta sử dụng định lí cosin để tính góc

$\cos A = \frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}$

$\cos B = \frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}$

$cos C = \frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}$

Chú ý:

1. Cần lưu ý là một tam giác giải được khi ta biết 3 yếu tố của nó, trong đó phải có ít nhất một yếu tố độ dài (tức là yếu tố góc không được quá 2)