Lý thuyết bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn

1. Khái niệm bất phương trình một ẩn

Bất phương trình một ẩn là một mệnh đề chứa biến có một trong các dạng \(f(x) > g(x), f(x) < g(x),\)\( f(x) ≥ g(x), f(x) ≤ g(x)\), trong đó \(f(x), g(x)\) là các biểu thức chứa cùng một biến \(x\).

Điều kiện xác định của bất phương trình (ĐKXĐ) là điều kiện của biến số x để các biểu thức \(f(x), g(x)\) có nghĩa.

Giá trị \(x_0\) thỏa mãn ĐKXĐ làm cho \(f(x_0) < g(x_0)\) là một mệnh đề đúng thì \(x_0\) là một nghiệm của bất phương trình \(f(x) < g(x)\).

2. Hệ bất phương trình một ẩn

Việc tìm tập hợp các nghiệm chung của một tập hợp các bất phương trình một ẩn, kí hiệu \(\left\{\begin{matrix} f_{1}(x)<g_{1}(x)\\ f_{2}(x)<g_{3}(x) \\.......... \\ f_{n}(x)<g_{n}(x) \end{matrix}\right.\) là xét một hệ bất phương trình một ẩn.

Giải hệ bất phương trình bằng cách tìm giao các tập hơp nghiệm của bất phương trình của hệ.

3. Bất phương trình tương đương

Hai bất phương \({f_1}(x) < {g_1}(x)\) và \({f_2}(x) < {g_2}(x)\) được gọi là tương đương, kí hiệu:

\({f_1}(x) < {g_1}(x) \Leftrightarrow {f_2}(x) < {g_2}(x)\) nếu chúng có cùng một tập hợp nghiệm.

Định lí: Gọi \(D\) là ĐKXĐ của bất phương trình \(f(x) < g(x), h(x)\) là biểu thức xác định với \(∀ x ∈ D\) thì

a) \(f(x) + h(x) < g(x) + h(x)\)\( \Leftrightarrow  f(x) < g(x)\).

Hệ quả \(f(x) < g(x) + p(x) \)\(\Leftrightarrow  f(x) - g(x) < p(x)\)

b) \(f(x).h(x) < g(x).h(x) \)\(\Leftrightarrow  f(x) < g(x)\) nếu \(h(x) > 0 ∀ x ∈ D\)

\(f(x).h(x) < g(x).h(x)  \)\(\Leftrightarrow  f(x) > g(x)\) nếu \(h(x) < 0 ∀ x ∈ D\).