Bài 2 trang 88 SGK Đại số 10

Chứng minh các bất phương trình sau vô nghiệm.

LG a

\(x^2+ \sqrt{x+8}\leq -3;\)

Phương pháp giải:

Đánh giá mỗi vế của các bất phương trình rồi nhận xét.

Lời giải chi tiết:

\(x^2+ \sqrt{x+8}\leq -3\)

ĐK: \(x + 8 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge  - 8\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} \ge 0\\\sqrt {x + 8}  \ge 0\end{array} \right.\) \( \Rightarrow {x^2} + \sqrt {x + 8}  \ge 0,\forall x \ge  - 8\)

\( \Rightarrow {x^2} + \sqrt {x + 8}  >  - 3,\forall x \ge  - 8\)

Vậy bất phương trình \({x^2} + \sqrt {x + 8}  \le  - 3\) vô nghiệm.

LG b

\(\sqrt{1+2(x-3)^{2}}+\sqrt{5-4x+x^{2}}< \dfrac{3}{2};\)

Lời giải chi tiết:

\(\sqrt{1+2(x-3)^{2}}+\sqrt{5-4x+x^{2}}< \dfrac{3}{2}\)

Ta có: \({\left( {x - 3} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow 2{\left( {x - 3} \right)^2} \ge 0\) \( \Rightarrow 1 + 2{\left( {x - 3} \right)^2} \ge 1\) \( \Rightarrow \sqrt {1 + 2{{\left( {x - 3} \right)}^2}}  \ge 1\)

\(5 - 4x + {x^2}\) \( = \left( {{x^2} - 4x + 4} \right) + 1\) \( = {\left( {x - 2} \right)^2} + 1 \ge 1\) \( \Rightarrow \sqrt {5 - 4x + {x^2}}  \ge 1\)

\( \Rightarrow \sqrt {1 + 2{{\left( {x - 3} \right)}^2}}  + \sqrt {5 - 4x + {x^2}} \) \( \ge 1 + 1 = 2 > \dfrac{3}{2}\)

\( \Rightarrow \) BPT \(\sqrt {1 + 2{{\left( {x - 3} \right)}^2}}  + \sqrt {5 - 4x + {x^2}}  < \dfrac{3}{2}\) vô nghiệm.

LG c

\(\sqrt{1+x^{2}}-\sqrt{7+x^{2}}> 1.\)

Lời giải chi tiết:

\(\sqrt{1+x^{2}}-\sqrt{7+x^{2}}> 1\)

Vì \(1 < 7 \Rightarrow 1 + {x^2} < 7 + {x^2}\) \( \Rightarrow \sqrt {1 + {x^2}}  < \sqrt {7 + {x^2}} \)

\( \Rightarrow \sqrt {1 + {x^2}}  - \sqrt {7 + {x^2}}  < 0 < 1\)

\( \Rightarrow \) BPT \(\sqrt {1 + {x^2}}  - \sqrt {7 + {x^2}}  > 1\) vô nghiệm.