Giải mục 2 trang 67, 68, 69 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá

Hoạt động 4

Cho hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}x + 2,x \ge 1\\x - 4,x < 1\end{array} \right.\) và hai dãy số (\({u_n}\)) và (\({v_n}\)) với \({u_n} = 1 + \frac{1}{n}\), \({v_n} = 1 - \frac{1}{n}\)

a, So sánh \({u_n},{v_n}\) với 1 và tìm \(\lim {u_n}\), \(\lim {v_n}\).

b, Tính \(f({u_n})\) và \(f({v_n})\) theo n.

c, Tìm lim\(f({u_n})\) và lim\(f({v_n})\).

Phương pháp giải:

a, Xác định \(\lim \frac{1}{n}\) để so sánh \({u_n},{v_n}\) với 1 và tìm \(\lim {u_n}\), \(\lim {v_n}\).

b, Thay \({u_n} = 1 + \frac{1}{n}\), \({v_n} = 1 - \frac{1}{n}\) để tính \(f({u_n})\) và \(f({v_n})\).

c, Sử dụng câu a,b để tìm lim\(f({u_n})\) và lim\(f({v_n})\).

Lời giải chi tiết:

a, Ta có \(\lim \frac{1}{n} = 0\) và \(\frac{1}{n} > 0\) nên:

\({u_n} = 1 + \frac{1}{n} > 1\) và \({v_n} = 1 - \frac{1}{n} < 1\)

\(\lim {u_n} = \lim (1 + \frac{1}{n}) = 1\) và \(\lim {v_n} = \lim (1 - \frac{1}{n}) = 1\).

b, Với \({u_n} > 1\) thay x=\({u_n}\) vào f(x)=x+2 ta được:

\(f({u_n}) = {u_n} + 2 = 1 + \frac{1}{n} + 2 = 3 + \frac{1}{n}\).

Với \({v_n} < 1\) thay x=\({v_n}\) vào f(x) = x-4 ta được:

\(f({v_n}) = {v_n} - 4 = 1 - \frac{1}{n} - 4 =  - 3 - \frac{1}{n}\).

c, Ta có: \(\lim f({u_n}) = \lim (3 + \frac{1}{n}) = 3\).

               \(\lim f({v_n}) = \lim ( - 3 - \frac{1}{n}) =  - 3\).

Luyện tập 4

Cho hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 1,x \ge 1\\\frac{{{x^2} - 1}}{{x + 1}},x < 1\end{array} \right.\). Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x)\)và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x)\)

Phương pháp giải:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} f(x) = \lim ({x_n}^2 + 1)\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} f(x) = \lim \frac{{{x_n}^2 - 1}}{{{x_n} + 1}}\)

Lời giải chi tiết:

Giả sử \(({x_n})\) là một dãy số bất kì mà \({x_n} >  - 1\) và \(\lim {x_n} =  - 1\), ta có \(f\left( {{x_n}} \right) = x_n^2 + 1\).

Vậy\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} f(x)\) =\(\lim f({x_n}) = {( - 1)^2} + 1 = 2\).

Giả sử \(({x_n})\) là một dãy số bất kì mà \({x_n} <  - 1\) và \(\lim {x_n} =  - 1\), ta có \(f({x_n}) = \frac{{x_n^2 - 1}}{{{x_n} + 1}} = \frac{{({x_n} - 1)({x_n} + 1)}}{{{x_n} + 1}} = {x_n} - 1\)

Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} f(x) = \)\(\lim f({x_n}) =  - 1 - 1 =  - 2\).

Luyện tập 5

Cho hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}2ax + 6,x \ge  - 2\\\frac{{{x^2} - 4}}{{x + 2}},x <  - 2\end{array} \right.\). Tìm a, biết rằng tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} f(x)\)

Phương pháp giải:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ + }} (2ax + 6) =  - 4a + 6\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ - }} \frac{{{x^2} - 4}}{{x + 2}}\mathop { = \lim }\limits_{x \to  - {2^ - }} (x - 2) =  - 4\)

Cho \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ - }} f(x)\) để tìm giá trị của a.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ + }} (2ax + 6) =  - 4a + 6\)

           \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ - }} \frac{{{x^2} - 4}}{{x + 2}}\mathop { = \lim }\limits_{x \to  - {2^ - }} (x - 2) =  - 4\)

Để tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} f(x)\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ - }} f(x) \Leftrightarrow  - 4a + 6 =  - 4 \Leftrightarrow  - 4a =  - 10 \Leftrightarrow a = \frac{5}{2}\)

Vậy \(a = \frac{5}{2}\).

Hoạt động 5

Đồ thị hàm số \(y = f(x) = \frac{1}{{x - 2}}\) được cho trong hình 3.3                                    

a, Nếu M(x;f(x)) là một điểm trên đồ thị, hãy dự đoán giá  trị của f(x) khi x dần đến 2 theo phía phải, theo phía trái.

b, \(({x_n})\)là một dãy số bất kì mà \({x_n} < 2\) và \({\mathop{\rm l}\nolimits} {\rm{im }}{{\rm{x}}_n} = 2\).Tính \(f({x_n})\) và \(\lim f({x_n})\).

Phương pháp giải:

a, Dựa vào phần đồ thị bên phải để xác định giá trị của f(x) khi x gần đến 2 theo phía phải và phần đồ thị bên trái để xác định giá trị của f(x) khi x gần đến 2 theo phía trái.

b, Thay \(x = {x_n}\) để tính \(f({x_n})\).

Tìm \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f(x)\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x)\).

Lời giải chi tiết:

a, Dự đoán: Khi x gần đến 2 theo phía phải thì f(x) gần đến \( + \infty \)

                Khi x gần đến 2 theo phía trái thì f(x) gần đến \( - \infty \).

b, Thay \(x = {x_n}\) vào f(x) ta được : \(f({x_n}) = \frac{1}{{{x_n} - 2}}\)

Cho dãy số \(({x_n})\) với \({x_n} > 2\) và \({\mathop{\rm l}\nolimits} {\rm{im }}{{\rm{x}}_n} = 2\), lim1=1 ta có:

\(\lim f({x_n}) =  + \infty \)

Cho dãy số \(({x_n})\) với \({x_n} < 2\) và \({\mathop{\rm l}\nolimits} {\rm{im }}{{\rm{x}}_n} = 2\), lim 1=1 ta có:

\(\lim f({x_n}) =  - \infty \).

Luyện tập 6

Tìm \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{1}{{2 - x}}\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \frac{1}{{x - 4}}\).

Phương pháp giải:

Áp dụng định lí \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} \frac{1}{{x - a}} =  + \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} \frac{1}{{x - a}} =  - \infty \) với mọi số thực a.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{1}{{2 - x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{ - 1}}{{x - 2}} =  + \infty \)

           \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \frac{1}{{x - 4}} =  + \infty \)