Bài 99 trang 151 SBT toán 7 tập 1

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A.\) Trên tia đối của tia \(BC\) lấy điểm \(D\), trên tia đối của tia \(CB\) lấy điểm \(E\) sao cho \(BD = CE.\) Kẻ \(BH\) vuông góc với \(AD,\) kẻ \(CK\) vuông góc với \(AE.\) Chứng minh rằng:

a) \(BH = CK\)

b) \(∆ABH = ∆ACK\)

Lời giải chi tiết

a) Vì \(∆ABC\) cân tại \(A\) nên \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\) (tính chất tam giác cân)

Ta có: \(\widehat {ABC} + \widehat {AB{\rm{D}}} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)

           \(\widehat {ACB} + \widehat {AC{\rm{E}}} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)

Suy ra: \(\widehat {AB{\rm{D}}} = \widehat {AC{\rm{E}}}\)

Xét \(∆ABD\) và \(∆ACE\) có:

\(AB = AC\) (vì \(\Delta ABC\) cân tại \(A\))

\(\widehat {AB{\rm{D}}} = \widehat {AC{\rm{E}}}\) (chứng minh trên)

\(BD = CE\) (gt)

\( \Rightarrow ∆ABD = ∆ACE\) (c.g.c)

\( \Rightarrow \widehat D = \widehat E\) (hai góc tương ứng).

Xét hai tam giác vuông \(BHD\) và \(CKE\) có:

\(\widehat {BH{\rm{D}}} = \widehat {CKE} = 90^\circ \)

\(BD = CE\) (gt)

\(\widehat D = \widehat E\) (chứng minh trên)

\( \Rightarrow ∆BHD = ∆CKE\) (cạnh huyền - góc nhọn)

\( \Rightarrow BH = CK\) (hai cạnh tương ứng).

b) Xét tam giác vuông \(ABH\) và \(ACK\) có:

\(\widehat {AHB} = \widehat {AKC} = 90^\circ \)

\(AB = AC\) (vì \(\Delta ABC\) cân tại \(A\))

\(BH = CK\) (chứng minh trên)

\( \Rightarrow ∆ABH = ∆ACK\) (cạnh huyền - cạnh góc vuông).