Bài 100 trang 151 SBT toán 7 tập 1

Đề bài

Cho tam giác \(ABC.\) Các tia phân giác của các góc \(B\) và \(C\) cắt nhau tại \(I.\) Chứng minh rằng \(AI\) là tia phân giác của góc \(A.\)

Hướng dẫn: Từ \(I\) kẻ các đường thẳng vuông góc với các cạnh của tam giác \(ABC.\)

Lời giải chi tiết

Kẻ: \(I{\rm{D}} \bot AB,IE \bot BC,{\rm{IF}} \bot {\rm{A}}C\)

Xét hai tam giác vuông \(IDB\) và \(IEB\) có:

\( \widehat {I{\rm{D}}B} = \widehat {IEB} = 90^\circ \)

\( \widehat {DBI} = \widehat {EBI}  \) (vì \(BI\) là phân giác góc \(B\))

\(BI\) cạnh chung

\( \Rightarrow  ∆IDB = ∆IEB\) (cạnh huyền - góc nhọn)

\( \Rightarrow  ID = IE\) (hai cạnh tương ứng)       (1)

Xét hai tam giác vuông \(IEC\) và \(IFC\) có :

\( \widehat {IEC} = \widehat {IFC} = 90^\circ \)

\( \widehat {ECI} = \widehat {FCI} \) (vì \(CI\) là phân giác góc \(C\))

\(CI\) cạnh chung

\( \Rightarrow  ∆ IEC = ∆IFC\) (cạnh huyền - góc nhọn)

\( \Rightarrow  IE = IF\) (hai cạnh tương ứng)           (2)

Từ (1) và (2) suy ra: \(ID = IF\).

Xét hai tam giác vuông \(IDA\) và \(IFA\) có:

\(\widehat {I{\rm{D}}A} = \widehat {IFA} = 90^\circ \)

\(ID = IF\) (chứng minh trên)

\(AI\) cạnh chung

\( \Rightarrow  ∆IDA = ∆IFA\) (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

\( \Rightarrow  \widehat {DAI} = \widehat {FAI}\) (hai góc tương ứng)

Vậy \(AI\) là tia phân giác của \(\widehat A\).