Bài 101 trang 151 SBT toán 7 tập 1

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) có \(AB < AC.\) Tia phân giác của góc \(A\) cắt đường trung trực của \(BC\) tại \(I.\) Kẻ \(IH\) vuông góc với đường thẳng \(AB\), kẻ \(IK\) vuông góc với đường thẳng \(AC.\) Chứng minh rằng \(BH = CK.\)

Lời giải chi tiết

Xét \(∆BMI\) và \(∆CMI\) có:

+) \(BM = CM\) (vì \(IM\) là đường trung trực của \(BC\))

+) \(\widehat {BMI} = \widehat {CMI} = 90^\circ \)

+) \(MI\) cạnh chung 

\( \Rightarrow  ∆BMI = ∆CMI \) (c.g.c)

\( \Rightarrow  IB = IC\) (hai cạnh tương ứng).

Xét hai tam giác vuông \(IHA\) và \(IKA\) có: 

+) \(\widehat {HAI} = \widehat {K{\rm{A}}I}  \) (vì \(AI\) là phân giác góc \(A\))

+) \(AI\) cạnh chung

\( \Rightarrow  ∆IHA = ∆IKA\) (cạnh huyền - góc nhọn)

\( \Rightarrow  IH = IK\) (hai cạnh tương ứng)

Xét hai tam giác vuông \(IHB\) và \(IKC\) có:

+) \(IB = IC\) (chứng minh trên)

+) \(IH = IK\) (chứng minh trên)

\( \Rightarrow  ∆IHB = ∆IKC\) (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

\( \Rightarrow  BH = CK\) (hai cạnh tương ứng).