Bài 94 trang 151 SBT toán 7 tập 1

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A.\) Kẻ \(BD\) vuông góc với \(AC,\) kẻ \(CE\) vuông góc với \(AB.\) Gọi \(K\) là giao điểm của \(BD\) và \(CE.\) Chứng minh rằng \(AK\) là tia phân giác của góc \(A.\)

Lời giải chi tiết

Xét hai tam giác vuông \(ADB\) và \(AEC\) có:

\(\widehat {A{\rm{D}}B} = \widehat {A{\rm{E}}C} = 90^\circ \)

\(AB = AC\) (vì tam giác \(ABC\) cân tại \(A\))

\(\widehat {A} \) chung

\( \Rightarrow  ∆ADB = ∆AEC\) (cạnh huyền - góc nhọn).

\( \Rightarrow  AD = AE\) (hai cạnh tương ứng).

Xét hai tam giác vuông \(ADK\) và \(AEK\) có:

\(\widehat {A{\rm{D}}K} = \widehat {A{\rm{E}}K} = 90^\circ \)

\(AD  = AE\) (chứng minh trên)

\(AK\) cạnh chung

\( \Rightarrow  ∆ADK = ∆AEK\) (cạnh huyền - cạnh góc vuông).

\( \Rightarrow \widehat {DAK} = \widehat {E{\rm{A}}K}\) (hai góc tương ứng).

Vậy \(AK\) là tia phân giác của góc \(BAC.\)