Bài 66 trang 146 SBT toán 7 tập 1

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) có \(\widehat A = 60^\circ \). Các tia phân giác của các góc \(B, C\) cắt nhau ở \(I\) và cắt \(AC, AB\) theo thứ tự ở \(D, E.\) Chứng minh rằng \(ID = IE.\)

Hướng dẫn: Kẻ tia phân giác góc \(BIC\).

Lời giải chi tiết

Áp dụng định lí tổng các góc của một tam giác vào \(∆ABC\), ta có:

\(\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \)

\( \Rightarrow \widehat B + \widehat C = 180^\circ  - \widehat A\)

                    \( = 180^\circ  - 60^\circ  = 120^\circ \)

\(\displaystyle \widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}} = {1 \over 2}\widehat B\) (vì \(BD\) là phân giác góc \(B\))

\(\displaystyle \widehat {{C_1}} = \widehat {{C_2}} = {1 \over 2}\widehat C\) (vì \(CE\) là phân giác góc \(C\))

Áp dụng định lí tổng các góc của một tam giác vào \(∆BIC\), ta có:

\(\widehat {{B_1}} + \widehat {{C_1}} + \widehat {BIC} = {180^o}\)

\( \Rightarrow \widehat {BIC} = 180^\circ  - \left( {\widehat {{B_1}} + \widehat {{C_1}}} \right)\)

                \(\displaystyle = 180^\circ  - \left( {{{\widehat B} \over 2} + {{\widehat C} \over 2}} \right) \)

                \(\displaystyle = 180^\circ  - 60^\circ  = 120^\circ \)

Kẻ tia phân giác \(IK\) của \(\widehat {BIC}\) cắt cạnh \(BC\) tại \(K\).

Suy ra: \(\displaystyle \widehat {{I_2}} = \widehat {{I_3}} = {1 \over 2}\widehat {BIC} = {1 \over 2}.120^o= 60^\circ \)

Ta có: \(\widehat {{I_1}} + \widehat {BIC} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)

\( \Rightarrow \widehat {{I_1}} = 180^\circ  - \widehat {BIC} = 180^\circ  - 120^\circ  \)\(\,= 60^\circ \)

\(\widehat {{I_4}} = \widehat {{I_1}} = 60^\circ \) (vì hai góc đối  đỉnh)

Xét \(∆BIE\) và \(∆BIK\) có:  

\(\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}}\) (vì \(BD\) là phân giác góc \(B\))

\(BI\) cạnh chung  

\(\widehat {{I_1}} = \widehat {{I_2}} = 60^\circ \)

\( \Rightarrow  ∆BIE =  ∆BIK\) (g.c.g)

\( \Rightarrow IE = IK \) (hai cạnh tương ứng)         (1)

Xét \( ∆CIK\) và \(∆CID\) có:

\(\widehat {{C_1}} = \widehat {{C_2}}\) (\(CE\) là phân giác góc \(C\))

\(CI\) cạnh chung

\(\widehat {{I_3}} = \widehat {{I_4}} = 60^\circ \)

\( \Rightarrow ∆CIK = ∆CID\) (g.c.g)

\( \Rightarrow  IK = ID\) (hai cạnh tương ứng)          (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(IE = ID.\)