Bài 65 trang 146 SBT toán 7 tập 1

Đề bài

Cho tam giác \(ABC.\) Trên cạnh \(AB\) lấy các điểm \(D\) và \(E\) sao cho \(AD = BE.\) Qua \(D\) và \(E\), vẽ các đường thẳng song song với \(BC,\) chúng cắt \(AC\) theo thứ tự ở \(M\) và \(N.\) Chứng minh rằng \(DM + EN = BC.\)

Hướng dẫn: Qua \(N,\) kẻ đường thẳng song song với \(AB.\)

Lời giải chi tiết

Từ \(N\) kẻ đường thẳng song song với \(AB \) cắt \(BC\) tại \(K.\) Nối \(EK.\)

Xét \(∆BEK\) và \(∆NKE\) có:

\(\widehat {EKB} = \widehat {KEN}\) (so le trong, \(EN // BC\))

\(EK\) cạnh chung

\(\widehat {BEK} = \widehat {NKE}\) (so le trong, \(NK // AB\))

\( \Rightarrow  ∆BEK = ∆NKE\) (g.c.g)

\( \Rightarrow BE = NK; BK= NE\) (các cạnh tương ứng)

Vì \(DM//BC\) nên \(\widehat {A{\rm{D}}M} =\widehat B\) (hai góc đồng vị)

Vì \(NK//AB\) nên \(\widehat B= \widehat {NKC}\) (hai góc đồng vị)

\( \Rightarrow \widehat {A{\rm{D}}M} = \widehat {NKC}\)

Xét \(∆ADM\) và \(∆NKC\) có:

\(\widehat A = \widehat {KNC}\) (hai góc đồng vị, \(NK // AB\))

\(AD = NK\) (vì cùng bằng \(BE\)) 

\(\widehat {A{\rm{D}}M} = \widehat {NKC}\) (chứng minh trên)

\( \Rightarrow  ∆ADM = ∆NKC \) (g.c.g)

\( \Rightarrow DM = KC\) (hai cạnh tương ứng)

Mà \(BC = BK + KC\) suy ra \(BC = EN + DM\).