Bài 53 trang 144 SBT toán 7 tập 1

Đề bài

Cho tam giác \(ABC.\) Các tia phân giác của các góc \(B\) và \( C\) cắt nhau ở \(O.\) Kẻ \({\rm{OD}} \bot\, AC\), kẻ \({\rm{O}}E \bot \,AB\). Chứng minh rằng \(OD = OE.\)

Lời giải chi tiết

Kẻ \(OH \bot BC\)

Xét hai tam giác vuông \(OEB\) và \(OHB\) có:

\(\widehat {OEB} = \widehat {OHB} = 90^\circ \)

Cạnh huyền \(OB\) chung

\(\widehat {EBO} = \widehat {HBO}\) (vì \(BO\) là phân giác \(\widehat B\))

\( \Rightarrow  ∆OEB = ∆OHB\) (cạnh huyền, góc nhọn)

\( \Rightarrow  OE = OH\) (hai cạnh tương ứng)                    (1)

Xét hai tam giác vuông \(OHC\) và \(ODC\), ta có:

\(\widehat {OHC} = \widehat {O{\rm{D}}C} = 90^\circ \)

Cạnh huyền \(OC\) chung

\(\widehat {HCO} = \widehat {DCO}\) (vì \(CO\) là phân giác \(\widehat C\))

\( \Rightarrow ∆OHC = ∆ODC\) (cạnh huyền, góc nhọn)

\( \Rightarrow  OH = OD\) (hai cạnh tương ứng)                    (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(OE = OD.\)