Bài 55 trang 145 SBT toán 7 tập 1

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) có \(\widehat B = \widehat C\). Tia phân giác góc \(A\) cắt \(BC\) tại \(D.\) Chứng minh rằng \(DB = DC, AB = AC.\)

Lời giải chi tiết

Áp dụng định lí tổng các góc của một tam giác vào \(∆ADB\), ta có:

\(\widehat B + \widehat {{A_1}} + \widehat {{D_1}} = 180^\circ \)

\( \Rightarrow \widehat {{D_1}} = 180^\circ  - \left( {\widehat B + \widehat {{A_1}}} \right)\)            (1)

Áp dụng định lí tổng các góc của một tam giác vào \(∆ADC\), ta có:

\(\widehat C + \widehat {{D_2}} + \widehat {{A_2}} = 180^\circ \)

\( \Rightarrow \widehat {{D_2}} = 180^\circ  - \left( {\widehat C + \widehat {{A_2}}} \right)\)            (2)

Mà \(\widehat B = \widehat C\left( {gt} \right)\); \(\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}}\) (vì \(AD\) là tia phân giác góc \(A\))   (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: \(\widehat {{D_1}} = \widehat {{D_2}}\)

Xét \(∆ADB\) và \(∆ADC\), ta có:

\(\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}}\) (vì \(AD\) là tia phân giác góc \(A\))

\(AD\) cạnh chung

\(\widehat {{D_1}} = \widehat {{D_2}}\) (chứng minh trên)

\( \Rightarrow ∆ADB = ∆ADC\) (g.c.g)

\( \Rightarrow AB = AC; \;DB = DC\) (các cạnh tương ứng).