Bài 64 trang 146 SBT toán 7 tập 1

Đề bài

Cho tam giác \(ABC, D\) là trung điểm của \(AB,\) \(E\) là trung điểm của \(AC.\) Vẽ điểm \(F\) sao cho \(E\) là trung điểm của \(DF.\) Chứng minh rằng:

a) \(DB = CF\).

b) \(∆BDC = ∆FCD\).

c) \(DE// BC\) và \(\displaystyle DE = {1 \over 2}BC\)

Lời giải chi tiết

a) Xét \(∆ADE\) và \(∆CFE\) có:

\(AE = CE\) (gt)

\(\widehat {A{\rm{ED}}} = \widehat {{\rm{CEF}}}\) (đối đỉnh)

\(DE = FE\) (gt)

\( \Rightarrow  ∆ADE = ∆CFE\) (c.g.c)

\( \Rightarrow  AD = CF\) (hai cạnh tương ứng)

Mà \(AD = DB\) (vì \(D\) là trung điểm của \(AB\))

Vậy \(DB = CF\)

b) Ta có: \(∆ADE = ∆CFE\) (chứng minh trên)

\( \Rightarrow \widehat {A{\rm{D}}E} = \widehat {CF{\rm{E}}}\) (hai góc tương ứng)

\( \Rightarrow AD // CF\) (vì có cặp góc so le trong \(\widehat {A{\rm{D}}E} = \widehat {CF{\rm{E}}}\) )

Hay \(AB // CF\).

Xét \(∆DBC\) và \(∆CFD\) có:

\(BD = CF\) (chứng minh trên)

\(\widehat {B{\rm{D}}C} = \widehat {FC{\rm{D}}}\) (hai góc so le trong, \(CF // AB\))

\(DC \) cạnh chung

\( \Rightarrow   ∆DBC = ∆CFD\) (c. g. c)

c) Ta có: \( ∆DBC = ∆CFD\) (chứng minh trên)

\(\Rightarrow \widehat {{C_1}} = \widehat {{D_1}}\) (hai góc tương ứng)

\(\Rightarrow  DE // BC\) (vì có hai góc so le trong \(\widehat {{C_1}} = \widehat {{D_1}}\))

\(∆DBC = ∆CFD \) \( \Rightarrow  BC = DF\) (hai cạnh tương ứng)

Mà \(\displaystyle {\rm{D}}E = {1 \over 2}DF\) (vì \(E\) là trung điểm của \(DF\)).

Vậy \(\displaystyle {\rm{D}}E = {1 \over 2}BC\).