Bài 20 trang 219 SBT giải tích 12

Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi quay các hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quanh trục Ox:

LG a

y = x³ ; y = 1 và x = 3

Lời giải chi tiết:

Thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi miền CED quay quanh trục Ox là hiệu của hai thể tích (V₁ và V₂) của hai vật thể tròn xoay tương ứng sinh ra khi miền ACEB và miền ACDB quay quanh trục Ox. Như vậy  V = V₁ – V₂ , trong đó :

\({V_1} = \pi \int\limits_1^3 {{x^6}} dx = {1 \over 7}\pi {x^7}\left| {\matrix{3 \cr 1 \cr} } \right. = {\pi \over 7}({3^7} - 1)\)

\({V_2} = \pi \int\limits_1^3 {dx = 2\pi }\)

\(\Rightarrow V = {V_1} - {V_2} = {\pi  \over 7}({3^7} - 15) = 310{2 \over 7}\pi \) (đơn vị thể tích)

LG b

\(y = {2 \over \pi }x;y = \sin x;x \in {\rm{[}}0;{\pi  \over 2}{\rm{]}}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có V = V₁ – V₂ trong đó

\({V_1} = \pi \int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {{{\sin }^2}xdx} \)

\(\begin{array}{l}
= \pi \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\dfrac{{1 - \cos 2x}}{2}dx} \\
= \dfrac{\pi }{2}\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\left( {1 - \cos 2x} \right)dx} \\
= \dfrac{\pi }{2}\left. {\left( {x - \dfrac{{\sin 2x}}{2}} \right)} \right|_0^{\dfrac{\pi }{2}}\\
= \dfrac{{{\pi ^2}}}{4}
\end{array}\)

\({V_2} = \pi \int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {{{({2 \over \pi }x)}^2}dx }  \)

\( = \dfrac{4}{\pi }\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {{x^2}dx}  = \dfrac{4}{\pi }.\left. {\dfrac{{{x^3}}}{3}} \right|_0^{\dfrac{\pi }{2}} = \dfrac{{{\pi ^2}}}{6}\)

\(V = {V_1} - {V_2} = {{{\pi ^2}} \over {12}}\) (đơn vị thể tích)

LG c

\(y = {x^\alpha },\alpha  \in {N^*};y = 0;x = 0\) và x = 1

Lời giải chi tiết:

Hình vẽ

\(V = \pi \int\limits_0^1 {{x^{2\alpha }}dx}  \)

\( = \pi .\left. {\dfrac{{{x^{2\alpha  + 1}}}}{{2\alpha  + 1}}} \right|_0^1 = \pi \left( {\dfrac{1}{{2\alpha  + 1}} - 0} \right) \) \(= \dfrac{\pi }{{2\alpha  + 1}}\)