Bài 14 trang 218 SBT giải tích 12

Giải các phương trình sau:

LG a

\({5^{\cos (3x + {\pi  \over 6})}} = 1\)

Lời giải chi tiết:

Vì  1 = 5⁰  nên ta có \(\displaystyle {5^{\cos (3x + {\pi  \over 6})}} = 1 \Leftrightarrow  \cos (3x + {\pi  \over 6}) = 0\)

\(\displaystyle \Leftrightarrow 3x + {\pi  \over 6} = {\pi  \over 2} + k\pi \) \(\displaystyle \Rightarrow  x = {\pi  \over 9} + k{\pi  \over 3}(k \in Z)\)

LG b

\({6.4^x} - {13.6^x} + {6.9^x} = 0\)

Lời giải chi tiết:

\({6.4^x} - {13.6^x} + {6.9^x} = 0\)                   (1)

Chia cả hai vế cho \({6^x}\), ta có: \((1) \Leftrightarrow 6.{({2 \over 3})^x} - 13 + 6.{({3 \over 2})^x} = 0\)

Đặt \({({2 \over 3})^x} = t(t > 0)\) , ta có:

\(6t - 13 + {6 \over t} = 0\) \( \Leftrightarrow 6{t^2} - 13t + 6 = 0 \) \(\Leftrightarrow \left[ {\matrix{{t = {3 \over 2}} \cr {t = {2 \over 3}} \cr} } \right.\)

+) Với  \(t = {2 \over 3}\) ta có  \({({2 \over 3})^x} = {2 \over 3} \Leftrightarrow x = 1\)

+) Với  \(t = {3 \over 2}\) ta có  \({({2 \over 3})^x} = {3 \over 2} \Leftrightarrow x =  - 1\)

LG c

\({7^{{x^2}}}{.5^{2x}} = 7\)

Lời giải chi tiết:

Logarit hóa hai vế theo cơ số 7, ta được:

\(\begin{array}{l}
{\log _7}\left( {{7^{{x^2}}}{{.5}^{2x}}} \right) = {\log _7}7\\
\Leftrightarrow {\log _7}{7^{{x^2}}} + {\log _7}{5^{2x}} = 1
\end{array}\)

\(\Leftrightarrow  {x^2} + 2x.{\log _7}5 - 1 = 0 \) \(\Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = - {{\log }_7}5 - \sqrt {\log _7^25 + 1} } \cr {x = - {{\log }_7}5 + \sqrt {\log _7^25 + 1} } \cr} } \right.\)

LG d

\({\log _4}(x + 2){\log _x}2 = 1\)

Lời giải chi tiết:

\({\log _4}(x + 2).{\log _x}2 = 1\) (1)

Điều kiện:  \(\left\{ \matrix{x + 2 > 0 \hfill \cr x > 0 \hfill \cr x \ne 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{x > 0 \hfill \cr x \ne 1 \hfill \cr} \right.\)

\((1) \Leftrightarrow{1 \over 2}{\log _2}(x + 2).{1 \over {{{\log }_2}x}} = 1 \) \( \Leftrightarrow {\log _2}\left( {x + 2} \right) = 2{\log _2}x\)

\(\Leftrightarrow {\log _2}(x + 2) = {\log _2}{x^2}\)

\(\Leftrightarrow{x^2} - x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = - 1(loại)} \cr {x = 2} \cr} } \right.\)

Vậy nghiệm của phương trình là x = 2.

LG e

\(\displaystyle {{{{\log }_3}x} \over {{{\log }_9}3x}} = {{{{\log }_{27}}9x} \over {{{\log }_{81}}27x}}\)

Lời giải chi tiết:

Điều kiện:  x > 0

\( \begin{array}{l}
PT \Leftrightarrow {\log _3}x.{\log _{81}}27x = {\log _{27}}9x.{\log _9}3x\\
\Leftrightarrow {\log _3}x.\dfrac{1}{4}{\log _3}27x = \dfrac{1}{3}{\log _3}9x.\dfrac{1}{2}{\log _3}3x\\
\Leftrightarrow \dfrac{1}{4}{\log _3}x\left( {{{\log }_3}27 + {{\log }_3}x} \right)\\
= \dfrac{1}{6}\left( {{{\log }_3}9 + {{\log }_3}x} \right).\left( {{{\log }_3}3 + {{\log }_3}x} \right)\\
\Leftrightarrow 3{\log _3}x\left( {3 + {{\log }_3}x} \right)\\
= 2\left( {2 + {{\log }_3}x} \right)\left( {1 + {{\log }_3}x} \right)
\end{array}\)

Đặt \({\log _3}x = t\) , ta được  phương trình:

\(\begin{array}{l}
3t\left( {3 + t} \right) = 2\left( {2 + t} \right)\left( {1 + t} \right)\\
\Leftrightarrow 9t + 3{t^2} = 2\left( {{t^2} + 3t + 2} \right)\\
\Leftrightarrow 9t + 3{t^2} = 2{t^2} + 6t + 4\\
\Leftrightarrow {t^2} + 3t - 4 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = 1\\
t = - 4
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
{\log _3}x = 1\\
{\log _3}x = - 4
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 3\\
x = {3^{ - 4}} = \dfrac{1}{{81}}
\end{array} \right.
\end{array}\)

Vậy phương trình có hai nghiệm  \({x_1} = 3;{x_2} = {1 \over {81}}\)

LG g

\({\log _3}x + {\log _4}(2x - 2) = 2\)

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: 

\(\left\{ {\matrix{{x > 0} \cr {2x - 2 > 0} \cr} } \right. \Leftrightarrow x > 1\)

Đặt \({\log _3}x + {\log _4}(2x - 2) = f(x)\)

Dễ thấy các hàm số \(y = {\log _3}x\) và \(y={\log _4}(2x - 2)\) đồng biến nên f(x) là hàm số đồng biến (là tổng của hai hàm đồng biến).

Mặt khác  f(3) = 2 nên ta có:

f(x) > f(3) = 2 với x > 3 và f(x) < f(3) = 2 với 1 < x < 3.

Từ đó suy ra  x = 3 là nghiệm duy nhất.