Bài 5 trang 232 SBT đại số và giải tích 11

Đề bài

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

y = sin²x + 4sinx.cosx - 3cos²x + 1

Lời giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}
y = {\sin ^2}x + 4\sin x\cos x - 3{\cos ^2}x + 1\\
= \frac{{1 - \cos 2x}}{2} + 2\sin 2x - 3.\frac{{1 + \cos 2x}}{2} + 1\\
= \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos 2x + 2\sin 2x - \frac{3}{2} - \frac{3}{2}\cos 2x + 1\\
= 2\sin 2x - 2\cos 2x\\
= 2\left( {\sin 2x - \cos 2x} \right)\\
= 2\sqrt 2 \sin \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right)
\end{array}\)

Mà \( - 1 \le \sin \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) \le 1\) nên:

\(\begin{array}{l}
- 2\sqrt 2 \le 2\sqrt 2 \sin \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) \le 2\sqrt 2 \\
\Rightarrow - 2\sqrt 2 \le y \le 2\sqrt 2
\end{array}\)

Do đó GTLN của hàm số là 2√2, đạt được khi sin(2x- π/4) = 1 hay 2x- π/4 = π/2 + k2π, tức là khi x = 3π/8 + kπ; k ∈ Z.

GTNN của hàm số là -2√2, đạt được khi sin(2x- π/4) = -1 hay 2x- π/4 = (-π)/2 + k2π, tức là khi x = (-π)/8 + kπ; k ∈ Z.