Bài 16 trang 233 SBT đại số và giải tích 11

Xét tính bị chặn của các dãy số với số hạng tổng quát sau:

LG a

\({x_n} = \frac{{5{n^2}}}{{{n^2} + 3}}\)

Lời giải chi tiết:

Ta thấy,

\({x_n} = \frac{{5{n^2}}}{{{n^2} + 3}} > 0,\forall n \in {N^*}\)

Mà \({x_n} = \frac{{5{n^2}}}{{{n^2} + 3}} < \frac{{5{n^2}}}{{{n^2}}} = 5,\forall n \in {N^*}\)

Vậy \(0 < {x_n} < 5,\forall n \in {N^*}\) nên dãy \(\left( {{x_n}} \right)\) bị chặn.

LG b

\({y_n} = {\left( { - 1} \right)^n}\frac{{2n}}{{n + 1}}\sin n\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}\left| {{y_n}} \right| = \left| {{{\left( { - 1} \right)}^n}\frac{{2n}}{{n + 1}}\sin n} \right|\\ = \left| {{{\left( { - 1} \right)}^n}} \right|.\left| {\frac{{2n}}{{n + 1}}} \right|.\left| {\sin n} \right| \le 1.\frac{{2n}}{{n + 1}}.1\\ = \frac{{2n}}{{n + 1}} < \frac{{2n}}{n} = 2\\ \Rightarrow \left| {{y_n}} \right| < 2\\ \Rightarrow  - 2 < {y_n} < 2,\forall n \in {N^*}\end{array}\)

Vậy \(\left( {{y_n}} \right)\) là dãy bị chặn.

LG c

\({x_n} = n\cos n\pi \)

Lời giải chi tiết:

Dãy \(\left( {{z_n}} \right)\) không bị chặn vì:

\(\left| {{z_n}} \right| = \left| {n\cos n\pi } \right|\) \( = \left| n \right|.\left| {\cos n\pi } \right| = n.1 = n\)

Nên không tồn tại số M nào sao cho \(\left| {{z_n}} \right| < M,\forall n \in {N^*}\).