Bài 5 trang 108 SGK Hình học 12 Nâng cao

Trong những trường hợp sau, làm thế nào để viết phương trình đường thẳng:

LG a

Đi qua một điểm và có vectơ chỉ phương cho trước.

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng đi qua M₀ (x₀,y₀,z₀ ) và nhận \(\overrightarrow u  = \left( {a;b;c} \right)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình là \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.,t \in \mathbb{R}\).

LG b

Đi qua hai điểm phân biệt cho trước.

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt A(x_A,y_A,z_A) và B = (x_B,y_B,z_B) là đường thẳng đi qua A(x_A,y_A,z_A) và vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u  = \overrightarrow {AB} \) \( = \left( {{x_B} - {x_A},{y_B} - {y_A},{z_B} - {z_A}} \right)\)

Đường thẳng AB có phương trình là \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_A} + \left( {{x_B} - {x_A}} \right)t\\y = {y_A} + \left( {{y_B} - {y_A}} \right)t\\z = {z_A} + \left( {{z_B} - {z_A}} \right)t\end{array} \right.\)

LG c

Đi qua một điểm và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng đi qua A(x_A,y_A,z_A) và vuông góc với mp(α):Ax+By+Cz+D=0 là đường thẳng đi qua A(x_A,y_A,z_A) và nhận \(\overrightarrow {{n_{\left( \alpha  \right)}}}  = \left( {A;B;C} \right)\) là vectơ chỉ phương nên đường thẳng đó có phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_A} + At\\y = {y_A} + Bt\\z = {z_A} + Ct\end{array} \right.\)

LG d

Đi qua một điểm và song song với hai mặt phẳng cắt nhau cho trước.

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng đi qua A và song song với hai mặt phẳng cắt nhau (P) và (Q) là đường thẳng đi qua A và nhận vectơ \(\overrightarrow u  = \left[ {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right]\) làm vectơ chỉ phương, trong đó \({\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} }\) lần lượt là vectơ pháp tuyến của (P) và (Q).

LG e

Đi qua một điểm và cắt hai đường thẳng chéo nhau cho trước.

Lời giải chi tiết:

Để viết phương trình đường thẳng đi qua A và cắt nhau với hai đường thẳng chéo nhau d₁ và d₂ ta làm như sau:

+ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa A và d₁:

+ Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa A và d₂:

+ Giao tuyến của (P) và (Q) chính là đường thẳng cần tìm, vậy phương trình đường thẳng cần tìm là hệ hai phương trình của mặt phẳng (P) và mp(Q).

Cách khác:

- Gọi B, C lần lượt là giao điểm của \({d_1},{d_2}\) với \(\Delta \).

- Tham số hóa tọa độ của B, C theo ẩn t, t’.

- Tính tọa độ các véc tơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \).

- Lập hệ phương trình ẩn t, t’ dựa vào chú ý \(\overrightarrow {AB}  = k\overrightarrow {AC} \) (do \(A,B,C\) thẳng hàng, cùng thuộc \(\Delta \)).

- Giải hệ phương trình tìm \(t,t'\) suy ra tọa độ A, B và viết phương trình.

LG f

Là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau cho trước?

Lời giải chi tiết:

Cho hai đường thẳng d₁ và d₂ chéo nhau, đường vuông góc chung Δ của d₁ và d₂ là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q), trong đó (P) chứa d₁ và Δ, (Q) chứa d₂ và chứa Δ.

Vậy để viết phương trình đường vuông góc chung của d₁ và d₂ cần viết được phương trình của (P) và (Q)

+ Mặt phẳng (P) chứa d₁ và Δ là mặt phẳng đi qua M₁∈d₁ và nhận vectơ \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right]\) làm vectơ pháp tuyến, trong đó \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} \) lần lượt là vectơ chỉ phương của d₁ và d₂.

+ Mặt phẳng (Q) chứa d₂ và Δ là mặt phẳng đi qua M₂∈d₂ và nhận vectơ \(\left[ {\overrightarrow {{u_2}} ,\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right]\) làm vectơ pháp tuyến.

Vậy phương trình của Δ là hệ phương trình của hai mặt phẳng (P) và (Q).

Cách khác:

- Gọi A, B lần lượt là giao điểm của \({d_1},{d_2}\) với \(\Delta \).

- Tham số hóa tọa độ của A, B theo ẩn t, t’.

- Lập hệ phương trình ẩn t, t’ dựa vào chú ý \(\overrightarrow {AB}  \bot \overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {AB}  \bot \overrightarrow {{u_2}} \) hay \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{u_1}}  = 0\\\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{u_2}}  = 0\end{array} \right.\).

- Giải hệ phương trình tìm \(t,t'\) suy ra tọa độ B, C và viết phương trình.