Bài 2 trang 107 SGK Hình học 12 Nâng cao

Cho tọa độ bốn đỉnh của một hình tứ diện, làm thế nào để tìm:

LG a

Tọa độ trọng tâm tứ diện;

Lời giải chi tiết:

Cho tứ diện ABCD có A=(x_A,y_A,z_A), B=(x_B;y_B,z_B); C=(x_C,y_C,z_C), D = (x_D,y_D,z_D)

Tọa độ trọng tâm tứ diện là:

\(\left( {\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C} + {x_D}}}{4};\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C} + {y_D}}}{4};\frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C} + {z_D}}}{4}} \right)\)

LG b

Tọa độ của tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện;

Lời giải chi tiết:

Gọi I = (x₀;y₀;z₀) là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD, ta có: \(IA = IB = IC = ID \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}IA = IB\\IB = IC\\IC = ID\end{array} \right.\)

Giải hệ ta tìm được tọa độ (x₀;y₀;z₀) của tâm mặt cầu ngoại tập tứ diện ABCD.

Từ đó, tính được bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là

\(R = IA = \sqrt {{{\left( {{x_A} - {x_0}} \right)}^2} + {{\left( {{y_A} - {y_0}} \right)}^2} + {{\left( {{z_A} - {z_0}} \right)}^2}} \)

LG c

Thể tích tứ diện

Lời giải chi tiết:

Thể tích tứ diện ABCD là \(V = \frac{1}{6}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} } \right|\)

LG d

Độ dài tứ đường cao ứng với một mặt tứ diện?

Lời giải chi tiết:

Độ dài đường cao ứng với mỗi mặt của tứ diện là: \(h = \frac{{3V}}{S}\), trong đó S là diện tích đáy ứng với chiều cao h.