Bài 2 trang 109 SGK Hình học 12 Nâng cao

Cho hai điểm \(A\left( {1; - 1; - 2} \right)\,\,;\,\,B\left( {3;1;1} \right)\) và mặt phẳng (P): \(x - 2y + 3z - 5 = 0\).

LG a

Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua mp(P).

Lời giải chi tiết:

+ Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và (d) ⊥ mp(P).

Đường thẳng (d) đi qua A(1, -1, -2) và nhận vectơ pháp tuyến của mp(P) là \(\overrightarrow n  = \left( {1; - 2;3} \right)\) là vectơ chỉ phương, nên đường thẳng (d) có phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y =  - 1 - 2t\\z =  - 2 + 3t\end{array} \right.\)

+ Tìm tọa độ giao điểm H của d và mp(P)

Tọa độ của H là nghiệm của hệ

\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y =  - 1 - 2t\\z =  - 2 + 3t\\x - 2y + 3z - 5 = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y =  - 1 - 2t\\z =  - 2 + 3t\\1 + t - 2\left( { - 1 - 2t} \right) + 3\left( { - 2 + 3t} \right) - 5 = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y =  - 1 - 2t\\z =  - 2 + 3t\\ - 8 + 14t = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = \dfrac{4}{7}\\x = \dfrac{{11}}{7}\\y =  - \dfrac{{15}}{7}\\z =  - \dfrac{2}{7}\end{array} \right.\) \( \Rightarrow H\left( {\dfrac{{11}}{7}; - \dfrac{{15}}{7}; - \dfrac{2}{7}} \right)\)

+ Vì A và A’ đối xứng với nhau qua mp(P) nên H chính là trung điểm của AA’, ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_A} + {x_{A'}} = 2{x_H}\\{y_A} + {y_{A'}} = 2{y_H}\\{z_A} + {z_{A'}} = 2{z_H}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 + {x_{A'}} = \dfrac{{22}}{7}\\ - 1 + {y_{A'}} =  - \dfrac{{30}}{7}\\ - 2 + {z_{A'}} =  - \dfrac{4}{7}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} = \dfrac{{15}}{7}\\{y_{A'}} =  - \dfrac{{23}}{7}\\{z_{A'}} = \dfrac{{10}}{7}\end{array} \right.\)

Cách khác:

Điểm \(A'\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) đối xứng với A qua mp(P) khi và chỉ khi:

+) \(\overrightarrow {AA'}  = \left( {{x_0} - 1,{y_0} + 1,{z_0} + 2} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của (P)

+) Trung điểm \(I\left( {{{{x_0} + 1} \over 2};{{{y_0} - 1} \over 2};{{{z_0} - 2} \over 2}} \right)\) của AA’ nằm trên (P).

\(\left( P \right)\) có VTPT \(\overrightarrow n  = \left( {1; - 2;3} \right)\) \( \Rightarrow \overrightarrow {AA'} \) cùng phương \(\overrightarrow n \)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{{x_0} - 1}}{1} = \dfrac{{{y_0} + 1}}{{ - 2}} = \dfrac{{{z_0} + 2}}{3} = t\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} = 1 + t\\{y_0} =  - 1 - 2t\\{z_0} =  - 2 + 3t\end{array} \right.\)

Lại có \(I \in \left( P \right)\) nên \(\dfrac{{{x_0} + 1}}{2} - 2.\dfrac{{{y_0} - 1}}{2} + 3.\dfrac{{{z_0} - 2}}{2} - 5 = 0\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{2 + t}}{2} - \left( { - 2 - 2t} \right) + 3.\dfrac{{ - 4 + 3t}}{2} - 5 = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2 + t + 4 + 4t - 12 + 9t - 10 = 0\\ \Leftrightarrow 14t - 16 = 0 \Leftrightarrow t = \dfrac{8}{7}\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} = \dfrac{{15}}{7}\\{y_0} =  - \dfrac{{23}}{7}\\{z_0} = \dfrac{{10}}{7}\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(A'\left( {{{15} \over 7}; - {{23} \over 7};{{10} \over 7}} \right)\)

LG b

Tìm góc giữa đường thẳng AB và mp(P).

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( {2;2;3} \right)\); mp(P) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_{(P)}}}  = \left( {1; - 2;3} \right)\).

Gọi \(\varphi \) là góc giữa đường thẳng AB và mp(P) ta có \(0 \le \varphi  \le {90^0}\) và \(\sin \varphi  = {{\left| {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{n_{(P)}}} } \right|} \over {\left| {\overrightarrow {AB} .\left| {\overrightarrow {{n_{(P)}}} } \right|} \right|}} = {{\left| {2 - 4 + 9} \right|} \over {\sqrt {17.14} }} = {7 \over {\sqrt {238} }}\).

LG c

Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A, B và vuông góc với mp(P).

Lời giải chi tiết:

Gọi \(\overrightarrow {{n_{(Q)}}} \) là vectơ pháp tuyến của mp(Q) thì \(\overrightarrow {{n_{(Q)}}} \) \( \bot \) \(\overrightarrow {AB} \); \(\overrightarrow {{n_{(Q)}}} \) \( \bot \) \(\overrightarrow {{n_{(P)}}} \) nên chọn
\(\overrightarrow {{n_{(Q)}}}    = \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {{n_{(P)}}}   } \right] = \left( {12; - 3; - 6} \right)\)
Phương trình mặt phẳng (Q) là:
\(12\left( {x - 1} \right) - 3\left( {y + 1} \right) - 6\left( {z + 2} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow 4x - y - 2z - 9 = 0\).

LG d

Tìm tọa độ giao điểm I của đường thẳng AB và mp(P). Viết phương trình đường thẳng \(\Delta \) nằm trong (P), đi qua I và vuông góc với AB.

Lời giải chi tiết:

Tọa độ của I thỏa mãn hệ phương trình

\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
x = 1 + 2t \hfill \cr 
y = - 1 + 2t \hfill \cr 
z = - 2 + 3t \hfill \cr 
x - 2y + 3z - 5 = 0 \hfill \cr} \right. \cr 
& \Rightarrow 1 + 2t - 2\left( { - 1 + 2t} \right) + 3\left( { - 2 + 3t} \right) - 5 = 0\cr & \Rightarrow t = {8 \over 7} \cr} \)

Vậy \(I\left( {{{23} \over 7};{9 \over 7};{{10} \over 7}} \right).\)
Gọi \(\overrightarrow u \) và vectơ chỉ phương của \(\Delta \) thì \(\overrightarrow u \) \( \bot \) \(\overrightarrow {{n_{(P)}}}  \,\); \(\overrightarrow u  \bot \overrightarrow {AB} \) nên chọn

\(\overrightarrow u  = \left[ {\overrightarrow {{n_{(P)}}}   ;\overrightarrow {AB} } \right] \) \(= \left( { - 12;3;6} \right) =  - 3\left( {4; - 1; - 2} \right)\).
Vậy \(\Delta \) có phương trình tham số là 

\(\left\{ \matrix{
x = {{23} \over 7} + 4t \hfill \cr 
y = {9 \over 7} - t \hfill \cr 
z = {{10} \over 7} - 2t \hfill \cr} \right.\)