Bài 10 trang 111 SGK Hình học 12 Nâng cao

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 1. Trên các tia AA’, AB, AD (có chung gốc A) lần lượt lấy các điểm M, N, P khác A sao cho AM = m, AN = n và AP = p.

LG a

Tìm sự liên hệ giữa m, n và p sao cho mp(MNP) đi qua đỉnh C' của hình lập phương.

Lời giải chi tiết:

Ta chọn Oxyz sao cho O trùng A, các tia Ox, Oy và Oz lần lượt chứa các điểm B, D, A’. Khi đó ta có \(A\left( {0;0;0} \right)\,\,;\,\,B\left( {1;0;0} \right)\,\,;\) \(D\left( {0;1;0} \right)\,\,;\,\,A'\left( {0;0;1} \right)\,;\,\,C'\left( {1;1;1} \right)\,\,;\) \(\,M\left( {0;0;m} \right)\,\,;\,\,N\left( {n;0;0} \right)\,\,;\,\,P\left( {0;p;0} \right)\)
Mặt phẳng (MNP) có phương trình đoạn chắn

\({x \over n} + {y \over p} + {z \over m} = 1\)

Nên mặt phẳng đó đi qua đỉnh C’ khi và chỉ khi:

\({1 \over n} + {1 \over p} + {1 \over m} = 1\,\,\left( * \right)\)

LG b

Trong trường hợp mp(MNP) luôn đi qua C’, hãy tìm thể tích bé nhất của tứ diện AMNP. Khi đó tứ diện AMNP có tính chất gì?

Lời giải chi tiết:

Thể tích tứ diện AMNP là \(V = {1 \over 6}AM.AN.AP = {1 \over 6}mnp\) (trong đó m, n, p là các số dương thỏa mãn điều kiện (*)).

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương, ta có:
\({1 \over n} + {1 \over p} + {1 \over m} \ge 3\root 3 \of {{1 \over {mnp}}}  \) \(\Leftrightarrow {1 \over {mnp}} \le {1 \over {{3^3}}} \) \(\Leftrightarrow mnp \ge 27.\)

\( \Rightarrow V = \frac{1}{6}mnp \ge \frac{{27}}{6} = \frac{9}{2}\)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \({1 \over m} = {1 \over n} = {1 \over p} = {1 \over 3}\) \( \Leftrightarrow m = n = p = 3.\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của thể tích V là \({{9} \over 2}\), khi đó hình chóp AMNP là hình chóp đều.