Bài 4 trang 110 SGK Hình học 12 Nâng cao

Cho điểm A(2; 3; 1) và hai đường thẳng:

\({d_1}:\left\{ \matrix{
x = - 2 - t \hfill \cr 
y = 2 + t \hfill \cr 
z = 2t \hfill \cr} \right.;\) \({d_2}:{{x + 5} \over 3} = {{y - 2} \over { - 1}} = {z \over 1}\)

LG a

Viết phương trình mp(P) đi qua A và \({d_1}\).

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng \({d_1}\) qua \({M_1}\left( { - 2;2;0} \right)\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u {  _1} = \left( { - 1;1;2} \right)\).

Mp(P) qua A và \({d_1}\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_P}}  = \left[ {\overrightarrow {AM} ;\overrightarrow {{u_1}} } \right] = \left( { - 1;9; - 5} \right)\).
Vậy mp(P) có phương trình: \( - \left( {x + 2} \right) + 9\left( {y - 2} \right) - 5z = 0 \) \(\Leftrightarrow x - 9y + 5z + 20 = 0\).

LG b

Viết phương trình mp(Q) đi qua A và \({d_2}\).

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng \({d_2}\) qua \({M_2}\left( { - 5;2;0} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {3; - 1;1} \right)\).

Mp(Q) qua A và \({d_2}\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_Q}}  = \left[ {\overrightarrow {A{M_2}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( { - 2;4;10} \right)\).
Vậy mp(Q) có phương trình: \( - 2\left( {x -2} \right) + 4\left( {y - 3} \right) + 10(z-1) = 0\) \( \Leftrightarrow x - 2y - 5z + 9 = 0\)

LG c

Viết phương trình đường thẳng d đi qua A cắt cả \({d_1}\) và \({d_2}\).

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng d đi qua A, cắt cả \({d_1}\) và \({d_2}\) nên d nằm trên cả hai mặt phẳng (P) và (Q), tức là d gồm những điểm có tọa độ thỏa mãn phương trình:

\(\left\{ \matrix{
x - 9y + 5z + 20 = 0 \hfill \cr 
x - 2y - 5z + 9 = 0 \hfill \cr} \right.\).

Đặt x = t ta được hệ

\(\left\{ \matrix{
x = t \hfill \cr 
y = {{29} \over {11}} + {2 \over {11}}t \hfill \cr 
z = {{41} \over {55}} + {7 \over {55}}t \hfill \cr} \right.\).

Đây là phương trình tham số của đường thẳng d, d và \({d_1}\) cùng thuộc mp(P) và có vectơ chỉ phương không cùng phương nên cắt nhau.

d và \({d_2}\) cùng thuộc mp(Q) và có các vectơ chỉ phương không cùng phương nên cắt nhau.

LG d

Tính khoảng cách từ A đến \({d_2}\).

Lời giải chi tiết:

Khoảng cách từ điểm A đến \({d_2}\) là: \(d = {{\left| {\left[ {\overrightarrow {A{M_2}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right|} \over {\left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right|}} = {{\sqrt {4 + 16 + 100} } \over {\sqrt {9 + 1 + 1} }} = {{2\sqrt {30} } \over {\sqrt {11} }}\)