Bài 6 trang 110 SGK Hình học 12 Nâng cao

Cho hai đường thẳng

\(d:\left\{ \matrix{
x = 7 + 3t \hfill \cr 
y = 2 + 2t \hfill \cr 
z = 1 - 2t \hfill \cr} \right.\) và \(d':{{x - 1} \over 2} = {{y + 2} \over { - 3}} = {{z - 5} \over 4}\).

LG a

Chứng minh rằng d và d’ đồng phẳng. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa chúng.

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng d đi qua \(M\left( {7;2;1} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {3;2; - 2} \right)\).

Đường thẳng d’ đi qua \(M'\left( {1; - 2;5} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {u'}  = \left( {2; - 3;4} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {MM'}  = \left( { - 6; - 4;4} \right)\)

\(\eqalign{
& \left[ {\overrightarrow u ;\overrightarrow {u'} } \right] \cr &= \left( {\left| \matrix{
2\,\,\,\,\, - 2 \hfill \cr 
- 3\,\,\,\,\,4 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
- 2\,\,\,\,3 \hfill \cr 
4\,\,\,\,\,\,\,2 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
3\,\,\,\,\,\,\,\,2 \hfill \cr 
2\,\,\,\, - 3 \hfill \cr} \right|} \right) \cr &= \left( {2; - 16; - 13} \right) \cr 
& \Rightarrow \left[ {\overrightarrow u ;\overrightarrow {u'} } \right].\overrightarrow {MM'} \cr &= - 2.6 + 16.4 - 13.4 = 0 \cr} \)

Vậy d và d’ đồng phẳng.

Mà \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow {u'} \) không cùng phương nên d và d’ cắt nhau.

Mp(P) chứa d và d’ đi qua \(M\left( {7;2;1} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right] = \left( {2; - 16; - 13} \right)\) do đó (P) có phương trình là:

\(2\left( {x - 7} \right) - 16\left( {y - 2} \right) - 13\left( {z - 1} \right) = 0 \) \(\Leftrightarrow 2x - 16y - 13z + 31 = 0\)

LG b

Tính thể tích hình tứ diện giới hạn bởi mp(P) và ba mặt phẳng tọa độ.

Lời giải chi tiết:

Giao điểm của mp(P) với các trục tọa độ là: \(A\left( {{{ - 31} \over 2};0;0} \right)\,\,;\,\,B\left( {0;{{31} \over {16}};0} \right)\,\,;\) \(C\left( {0;0;{{31} \over {13}}} \right)\)
Thể tích tứ diện OABC là \(C = {1 \over 6}OA.OB.OC = {1 \over 6}.{{31} \over 2}.{{31} \over {16}}.{{31} \over {13}} \) \(= {{{{31}^3}} \over {2496}}.\)

LG c

Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện nói trên.

Lời giải chi tiết:

Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC đi qua O nên có phương trình có dạng:

\(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz = 0\)

Vì

\(A,B,C \in \left( S \right) \)

\(\Rightarrow  \left\{ \begin{array}{l}
{\left( { - \frac{{31}}{2}} \right)^2} - 2a.\left( { - \frac{{31}}{2}} \right) = 0\\
{\left( {\frac{{31}}{{16}}} \right)^2} - 2b.\frac{{31}}{{16}} = 0\\
{\left( {\frac{{31}}{{13}}} \right)^2} - 2c.\frac{{31}}{{13}} = 0
\end{array} \right.\)

\(\Rightarrow \left\{ \matrix{
a = - {{31} \over 4} \hfill \cr 
b = {{31} \over {32}} \hfill \cr 
c = {{31} \over {26}} \hfill \cr} \right.\)

Vậy \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} + {{31} \over 2}x - {{31} \over {16}}y - {{31} \over {13}}z = 0\)