Bài 3 trang 109 SGK Hình học 12 Nâng cao

Cho đường thẳng d và mp(P) có phương trình:

\(d:\left\{ \matrix{
x = {2 \over 3} + t \hfill \cr 
y = - {{11} \over 3} + t \hfill \cr 
z = t \hfill \cr} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( P \right):x - 3y + z - 1 = 0\).

LG a

Viết phương trình đường thẳng d’ là hình chiếu vuông góc của d trên mp(P)

Phương pháp giải:

Gọi (Q) là mặt phẳng đi qua d và vuông góc với mp(P) thì \(d' = \left( P \right) \cap \left( Q \right)\) là hình chiếu của d trên (P).

Lời giải chi tiết:

Gọi (Q) là mặt phẳng đi qua d và vuông góc với mp(P) thì \(d' = \left( P \right) \cap \left( Q \right)\) là hình chiếu của d trên (P).

Đường thẳng d đi qua \({M_0}\left( {{2 \over 3}; - {{11} \over 3};0} \right)\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {1;1;1} \right)\).

Mp(P) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_{(P)}}}    = \left( {1; - 3;1} \right)\).

Mp(Q) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_{(Q)}}}    \bot \overrightarrow u \) và \(\overrightarrow {{n_Q}}    \bot \overrightarrow {{n_P}}  \).

Vì \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {{n_{(P)}}}   } \right] = \left( {4;0; - 4} \right)\) nên chọn \(\overrightarrow {{n_{(Q)}}}    = \left( {1;0; - 1} \right)\).

(Q) chứa d nên (Q) qua \({M_0}\left( {{2 \over 3}; - {{11} \over 3};0} \right)\) do đó (Q) có phương trình \(x - {2 \over 3} - z = 0 \) \(\Leftrightarrow 3x - 3z - 2 = 0\)

Ta có

\(d':\left\{ \matrix{
x - 3y + z - 1 = 0 \hfill \cr 
3x - 3z - 2 = 0 \hfill \cr} \right.\)

Cho z = 0, ta có \(x = {2 \over 3},y =  - {1 \over 9} \) \(\Rightarrow A\left( {{2 \over 3}; - {1 \over 9};0} \right) \in d'\) và d’ có vectơ chỉ phương là

\(\overrightarrow a = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ;\overrightarrow {{n_Q}} } \right] \) \(= \left( {\left| \matrix{
- 3\,\,\,\,\,1 \hfill \cr 
0\,\,\,\, - 3 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,1 \hfill \cr 
- 3\,\,\,\,\,\,3 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
1\,\,\,\,\, - 3 \hfill \cr 
3\,\,\,\,\,\,\,\,0 \hfill \cr} \right|} \right) \) \(= \left( {9;6;9} \right) = 3\left( {3;2;3} \right).\)

Phương trình tham số của d’ là

\(\left\{ \matrix{
x = {2 \over 3} + 3t \hfill \cr 
y = - {1 \over 9} + 2t \hfill \cr 
z = 3t \hfill \cr} \right.\).

LG b

Viết phương trình đường thẳng \({d_1}\) là hình chiếu song song của d trên mp(P) theo phương Oz.

Phương pháp giải:

Gọi (R) là mặt phẳng chứa d và song song với Oz (hoặc chứa Oz) thì \({d_1} = \left( P \right) \cap \left( R \right)\).

Lời giải chi tiết:

Gọi (R) là mặt phẳng chứa d và song song với Oz (hoặc chứa Oz) thì \({d_1} = \left( P \right) \cap \left( R \right)\).
Mp(R) đi qua \({M_0}\left( {{2 \over 3}; - {{11} \over 3};0} \right)\) và có vectơ pháp tuyến vuông góc với cả \(\overrightarrow u  = \left( {1;1;1} \right)\) và \(\overrightarrow k  = \left( {0;0;1} \right)\) (vectơ chỉ phương Oz) nên \(\overrightarrow {{n_R}}    = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow k } \right] = \left( {1; - 1;0} \right)\).
Mp(R) có phương trình là \(1\left( {x - {2 \over 3}} \right) - 1\left( {y + {{11} \over 3}} \right) = 0 \) \(\Leftrightarrow 3x - 3y - 13 = 0\)
Ta có

\({d_1}:\left\{ \matrix{
x - 3y + z - 1 = 0 \hfill \cr 
3x - 3y - 13 = 0 \hfill \cr} \right.\).

Cho y = 0, ta có \(x = {{13} \over 3},z =  - {{10} \over 3}\) suy ra \(B\left( {{{13} \over 3};0; - {{10} \over 3}} \right) \in {d_1}\).
\({d_1}\) có vectơ chỉ phương

\(\overrightarrow v = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ;\overrightarrow {{n_R}} } \right] \) \(= \left( {\left| \matrix{
- 3\,\,\,\,\,1 \hfill \cr 
- 3\,\,\,\,0 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
1\,\,\,\,\,\,\,\,1 \hfill \cr 
0\,\,\,\,\,\,\,3 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
1\,\,\,\,\, - 3 \hfill \cr 
3\,\,\,\,\, - 3 \hfill \cr} \right|} \right) \) \(= \left( {3;3;6} \right) = 3\left( {1;1;2} \right).\)

Vậy \({d_1}\) có phương trình tham số là

\(\left\{ \matrix{
x = {{13} \over 3} + t \hfill \cr 
y = t \hfill \cr 
z = - {{10} \over 3} + 2t \hfill \cr} \right.\)

LG c

Viết phương trình đường thẳng đi qua gốc tọa độ O, cắt d và song song với mp(P).

Lời giải chi tiết:

Gọi (P) là mặt phẳng đi qua gốc tọa độ O và song song với mp(P) thì (P’) có phương trình: x – 3y + z = 0.

Giao điểm I của đường thẳng d và mp(P’) có tọa độ thỏa mãn hệ:

\(\left\{ \matrix{
x = {2 \over 3} + t \hfill \cr 
y = - {{11} \over 3} + t \hfill \cr 
z = t \hfill \cr 
x - 3y + z = 0 \hfill \cr} \right.\) \( \Leftrightarrow I\left( {{{37} \over 3};8;{{35} \over 3}} \right)\)

Đường thẳng đi qua O và I là đường thẳng cần tìm, ta có phương trình:

\({x \over {{{37} \over 3}}} = {y \over 8} = {z \over {{{35} \over 3}}}\) \( \Leftrightarrow {x \over {37}} = {y \over {24}} = {z \over {35}}\)