Bài 8 trang 111 SGK Hình học 12 Nâng cao

Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) lần lượt có phương trình:
\(\left( P \right):2x - y + z + 2 = 0\) và \(\left( Q \right):x + y + 2z - 1 = 0\).

LG a

Chứng minh rằng (P) và (Q) cắt nhau. Tìm góc giữa hai mặt phẳng đó.

Lời giải chi tiết:

Hai mặt phẳng (P) và (Q) lần lượt có các vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {2; - 1;1} \right)\) và \(\overrightarrow {{n_Q}}  = \left( {1;1;2} \right)\).

Vì \(\frac{2}{1} \ne \frac{{ - 1}}{1} \ne \frac{1}{2}\) nên hai vectơ đó không cùng phương nên (P) và (Q) cắt nhau.
Gọi \(\varphi\)  là góc giữa hai mặt phẳng đó thì:
\(\cos \varphi  = {{\left| {\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{n_Q}} } \right|} \over {\left| {\overrightarrow {{n_P}} } \right|\left| {\overrightarrow {{n_Q}} } \right|}} = {{\left| {2 - 1 + 2} \right|} \over {\sqrt 6 .\sqrt 6 }} = {1 \over 2}\).
Vậy \(\varphi  = {60^0}.\)

LG b

Viết phương trình đường thẳng d đi qua \(A\left( {1;2; - 3} \right)\), song song với cả (P) và (Q).

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng d song song với cả (P) và (Q) nên d có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u \) vuông góc với cả \(\overrightarrow {{n_P}} \) và \(\overrightarrow {{n_Q}} \).

Vì \(\left[ {\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = \left( { - 3; - 3;3} \right)\) nên ta có thể lấy \(\overrightarrow u  = \left( {1;1; - 1} \right)\).
Ngoài ra điểm \(A\left( {1;2; - 3} \right)\) không nằm trên cả (P) và (Q) nên đường thẳng d cần tìm có phương trình: \({{x - 1} \over 1} = {{y - 2} \over 1} = {{z + 3} \over { - 1}}\).

LG c

Viết phương trình mp(R) đi qua \(B\left( { - 1;3;4} \right)\), vuông góc với cả (P) và (Q).

Lời giải chi tiết:

\(\left( R \right) \bot \left( P \right)\,\,;\,\,\left( R \right) \bot \left( Q \right)\)

Suy ra (R) đi qua \(B\left( { - 1;3;4} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow u  = \left( {1;1; - 1} \right)\) nên (R) có phương trình: \(x + 1 + y - 3 - \left( {z - 4} \right) = 0 \) \(\Leftrightarrow x + y - z + 2 = 0.\)