Bài 4.43 trang 208 SBT giải tích 12

Đề bài

Trên mặt phẳng \(Oxy\), tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức \(z\) thỏa mãn điều kiện \(| z – i| = |(1 + i)z|\).

(Đề thi Đại học năm 2010, khối B)

Lời giải chi tiết

Đặt \(z = x + yi\).

Ta có:

\(|z – i| = |(1 + i)z|\) \( \Leftrightarrow \left| {x + \left( {y - 1} \right)i} \right| = \left| {\left( {1 + i} \right)\left( {x + yi} \right)} \right|\) \( \Leftrightarrow \left| {x + \left( {y - 1} \right)i} \right| = \left| {\left( {x - y} \right) + \left( {x + y} \right)i} \right|\)\( \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}  = \sqrt {{{\left( {x - y} \right)}^2} + {{\left( {x + y} \right)}^2}} \) \( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 2y + 1 = 2{x^2} + 2{y^2}\)

\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + 2y = 1\) \( \Leftrightarrow {x^2} + {\left( {y\; + 1} \right)^2} = 2\).

Các điểm biểu diễn \(z\) nằm trên đường tròn tâm \(I(0; -1)\) bán kính \(\sqrt 2 \).