Bài 4.38 trang 208 SBT giải tích 12

Tìm số phức \(z\), biết:

LG a

\(\overline z  = {z^3}\)

Phương pháp giải:

Nhân cả hai vế với \(z\) và đặt \(z = a + bi\), biến đổi phương trình suy ra \(a,b\).

Lời giải chi tiết:

Ta có \(z\overline z  = {\left| z \right|^2}\) nên từ \(\overline z  = {z^3} \Rightarrow {\left| z \right|^2} = {z^4}\)

Đặt \(z  = a+ bi\), suy ra:

\(\begin{array}{l}
{a^2} + {b^2} = {\left( {a + bi} \right)^4} = {\left[ {{{\left( {a + bi} \right)}^2}} \right]^2}\\
\Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = {\left( {{a^2} - {b^2} + 2abi} \right)^2}\\
\Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = {a^4} + {b^4} + {\left( {2abi} \right)^2}\\
- 2{a^2}{b^2} - 2{b^2}.2abi + 2{a^2}.2abi\\
\Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = {a^4} + {b^4} - 4{a^2}{b^2}\\
- 2{a^2}{b^2} - 4a{b^3}bi + 4{a^3}bi\\
\Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = {a^4} + {b^4} - 6{a^2}{b^2}\\
+ 4{a^2}{b^2}\left( {{a^2} - {b^2}} \right)i\\
\Leftrightarrow {a^4} + {b^4} - 6{a^2}{b^2} - {a^2} - {b^2}\\
+ 4{a^2}{b^2}\left( {{a^2} - {b^2}} \right)i = 0\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
4{a^2}{b^2}\left( {{a^2} - {b^2}} \right) = 0\,\,\left( 1 \right)\\
{a^4} + {b^4} - 6{a^2}{b^2} - {a^2} - {b^2} = 0\,\,\left( 2 \right)
\end{array} \right.
\end{array}\)

\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{a^2} = 0\\
{b^2} = 0\\
{a^2} - {b^2} = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
a = 0\\
b = 0\\
{a^2} = {b^2}
\end{array} \right.\)

+) Nếu \(a = 0\) thay vào \(\left( 2 \right)\) được \({b^4} - {b^2} = 0 \Leftrightarrow {b^2}\left( {{b^2} - 1} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{b^2} = 0\\{b^2} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 0\\b =  \pm 1\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 0\\z = i\\z =  - i\end{array} \right.\)

+) Nếu \(b = 0\) thay vào \(\left( 2 \right)\) ta được \({a^4} - {a^2} = 0 \Leftrightarrow {a^2}\left( {{a^2} - 1} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{a^2} = 0\\{a^2} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0\\a =  \pm 1\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 0\\z =  \pm 1\end{array} \right.\)

+) Nếu \({a^2} = {b^2}\) thay vào \(\left( 2 \right)\) ta được:

\({a^4} + {a^4} - 6{a^4} - {a^2} - {a^2} = 0\)\( \Leftrightarrow  - 4{a^4} - 2{a^2} = 0\)  \( \Leftrightarrow  - 2{a^2}\left( {2{a^2} + 1} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow {a^2} = 0 \Leftrightarrow a = 0\)

(vì \(2{a^2} + 1 > 0,\forall a\) )

\( \Rightarrow b = a = 0 \Rightarrow z = 0\)

Vậy các số phức cần tìm là \(z = 0,z =  \pm 1,z =  \pm i\).

LG b

\(|z| + z = 3 + 4i\)

Phương pháp giải:

Đặt \(z = a + bi\) thay vào điều kiện bài cho tìm \(a,b\) và kết luận.

Lời giải chi tiết:

Đặt \(z = a + bi\). Từ \(\left| z \right| + z = 3 + 4i\;\)suy ra

\(\sqrt {{a^2} + {b^2}}  + a + bi = 3 + 4i\)

\( \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + {b^2}}  + a - 3 + \left( {b - 4} \right)i = 0\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {{a^2} + {b^2}}  + a - 3 = 0\\b - 4 = 0\end{array} \right.\)

Ta có: \(b - 4 = 0 \Leftrightarrow b = 4\) thay vào phương trình trên ta được:

\(\sqrt {{a^2} + 16}  + a - 3 = 0\) \( \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + 16}  = 3 - a\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 - a \ge 0\\{a^2} + 16 = 9 - 6a + {a^2}\end{array} \right.\)  \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \le 3\\6a + 7 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \le 3\\a =  - \dfrac{7}{6}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow a =  - \dfrac{7}{6}\)

\( \Rightarrow z =  - \dfrac{7}{6} + 4i\)

Vậy \(z =  - \dfrac{7}{6} + 4i\).