Bài 4.39 trang 208 SBT giải tích 12

Đề bài

Tìm số phức \(z\) thỏa mãn hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}\left| {z - 2i} \right| = \left| z \right|\\\left| {z - i} \right| = \left| {z - 1} \right|\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết

Đặt \(z = x + yi \), ta được hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}\left| {x + yi - 2i} \right| = \left| {x + yi} \right|\\\left| {x + yi - i} \right| = \left| {x + yi - 1} \right|\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {x + \left( {y - 2} \right)i} \right| = \left| {x + yi} \right|\\\left| {x + \left( {y - 1} \right)i} \right| = \left| {x - 1 + yi} \right|\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {{x^2} + {{\left( {y - 2} \right)}^2}}  = \sqrt {{x^2} + {y^2}} \\\sqrt {{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}  = \sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {y^2}} \end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow  \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {(y - 2)^2} = {x^2} + {y^2}\\{x^2} + {(y - 1)^2} = {(x - 1)^2} + {y^2}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + {y^2} - 4y + 4 = {x^2} + {y^2}\\
{x^2} + {y^2} - 2y + 1 = {x^2} - 2x + 1 + {y^2}
\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4y + 4 = 0\\ - 2y + 1 =  - 2x + 1\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = 1}\\{x = y}\end{array}} \right. \Rightarrow x = 1,y = 1\)

Vậy \(z = 1 + i\).