Bài 4.40 trang 208 SBT giải tích 12

Đề bài

Chứng tỏ rằng \(\dfrac{{z - 1}}{{z + 1}}\) là số thực khi và chỉ khi \(z\) là một số thực khác \(– 1\).

Lời giải chi tiết

Hiển nhiên nếu \(z \in \mathbb{R},z \ne  - 1\) thì \(\dfrac{{z - 1}}{{z + 1}} \in \mathbb{R}\)

Ngược lại, nếu \(\dfrac{{z - 1}}{{z + 1}} = a \in \mathbb{R}\) thì \(z - 1 = az + a\) và \(a \ne 1\)

Suy ra \((1 - a)z = a + 1\)\( \Rightarrow z = \dfrac{{a + 1}}{{1 - a}} \in \mathbb{R}\) và hiển nhiên \(z \ne  - 1\)