Bài 4.4 trang 156 SBT đại số và giải tích 11
Giải bài 4.4 trang 156 sách bài tập đại số và giải tích 11. Tính giới hạn của các dãy số có số hạng tổng quát sau đây...
Tính giới hạn của các dãy số có số hạng tổng quát sau đây, khi \(\displaystyle n \to + \infty \)
LG a
\(\displaystyle {a_n} = {{2n - 3{n^3} + 1} \over {{n^3} + {n^2}}}\)
Phương pháp giải:
Chia cả tử và mẫu của các phân thức cho lũy thừa bậc ca nhất của \(n\) rồi sử dụng dãy số có giới hạn \(0\).
Lời giải chi tiết:
\(\lim {a_n} = \lim \dfrac{{2n - 3{n^3} + 1}}{{{n^3} + {n^2}}}\) \( = \lim \dfrac{{{n^3}\left( {\dfrac{2}{{{n^2}}} - 3 + \dfrac{1}{{{n^3}}}} \right)}}{{{n^3}\left( {1 + \dfrac{1}{n}} \right)}}\) \( = \lim \dfrac{{\dfrac{2}{{{n^2}}} - 3 + \dfrac{1}{{{n^3}}}}}{{1 + \dfrac{1}{n}}}\) \( = \dfrac{{0 - 3 + 0}}{{1 + 0}} = \dfrac{{ - 3}}{1} = - 3\)
LG b
\(\displaystyle {b_n} = {{3{n^3} - 5n + 1} \over {{n^2} + 4}}\)
Lời giải chi tiết:
\(\lim {b_n} = \lim \dfrac{{3{n^3} - 5n + 1}}{{{n^2} + 4}}\) \( = \lim \dfrac{{{n^3}\left( {3 - \dfrac{5}{{{n^2}}} + \dfrac{1}{{{n^3}}}} \right)}}{{{n^3}\left( {\dfrac{1}{n} + \dfrac{4}{{{n^3}}}} \right)}}\) \( = \lim \dfrac{{3 - \dfrac{5}{{{n^2}}} + \dfrac{1}{{{n^3}}}}}{{\dfrac{1}{n} + \dfrac{4}{{{n^3}}}}}\) \( = + \infty \)
(vì \(\lim \left( {3 - \dfrac{5}{{{n^2}}} + \dfrac{1}{{{n^3}}}} \right) = 3 > 0\) và \(\lim \left( {\dfrac{1}{n} + \dfrac{4}{{{n^3}}}} \right) = 0\))
LG c
\(\displaystyle {c_n} = {{2n\sqrt n } \over {{n^2} + 2n - 1}}\)
Lời giải chi tiết:
\(\lim {c_n} = \lim \dfrac{{2n\sqrt n }}{{{n^2} + 2n - 1}}\) \( = \lim \dfrac{{2{n^2}.\dfrac{1}{{\sqrt n }}}}{{{n^2}\left( {1 + \dfrac{2}{n} - \dfrac{1}{{{n^2}}}} \right)}}\) \( = \lim \dfrac{{\dfrac{2}{{\sqrt n }}}}{{1 + \dfrac{2}{n} - \dfrac{1}{{{n^2}}}}}\) \( = \dfrac{0}{{1 + 0 - 0}} = 0\)
LG d
\(\displaystyle {u_n} = {2^n} + {1 \over n}\)
Lời giải chi tiết:
\(\lim {u_n} = \lim \left( {{2^n} + \dfrac{1}{n}} \right)\) \( = \lim {2^n} + \lim \dfrac{1}{n} = + \infty \)
(Vì \(\lim {2^n} = + \infty ,\lim \dfrac{1}{n} = 0\))
LG e
\(\displaystyle {v_n} = {\left( { - {{\sqrt 2 } \over \pi }} \right)^n} + {{{3^n}} \over {{4^n}}}\)
Phương pháp giải:
Sử dụng giới hạn: \(\lim {q^n} = 0\) khi \(\left| q \right| < 1\)
Lời giải chi tiết:
\(\lim {v_n} = \lim \left[ {{{\left( { - \dfrac{{\sqrt 2 }}{\pi }} \right)}^n} + \dfrac{{{3^n}}}{{{4^n}}}} \right]\) \( = \lim {\left( { - \dfrac{{\sqrt 2 }}{\pi }} \right)^n} + \lim {\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^n}\) \( = 0 + 0 = 0\).
(vì \(\left| { - \dfrac{{\sqrt 2 }}{\pi }} \right| < 1\) và \(\dfrac{3}{4} < 1\) nên \(\lim {\left( { - \dfrac{{\sqrt 2 }}{\pi }} \right)^n} = \lim {\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^n} = 0\))
LG f
\(\displaystyle {u_n} = {{{3^n} - {4^n} + 1} \over {{{2.4}^n} + {2^n}}}\)
Phương pháp giải:
Chia cả tử và mẫu cho \(4^n\) và sử dụng giới hạn \(\lim {q^n} = 0\) khi \(\left| q \right| < 1\)
Lời giải chi tiết:
\(\lim {u_n} = \lim \dfrac{{{3^n} - {4^n} + 1}}{{{{2.4}^n} + {2^n}}}\) \( = \lim \dfrac{{{{\left( {\dfrac{3}{4}} \right)}^n} - 1 + \dfrac{1}{{{4^n}}}}}{{2 + {{\left( {\dfrac{2}{4}} \right)}^n}}}\) \( = \dfrac{{0 - 1 + 0}}{{2 + 0}} = - \dfrac{1}{2}\)
LG g
\(\displaystyle {v_n} = {{\sqrt {{n^2} + n - 1} - \sqrt {4{n^2} - 2} } \over {n + 3}}\)
Phương pháp giải:
Chia cả tử và mẫu cho \(n\) suy ra giới hạn.
Lời giải chi tiết:
\(\lim {v_n}\) \( = \lim \dfrac{{\sqrt {{n^2} + n - 1} - \sqrt {4{n^2} - 2} }}{{n + 3}}\) \( = \lim \dfrac{{n\sqrt {1 + \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{{{n^2}}}} - n\sqrt {4 - \dfrac{2}{{{n^2}}}} }}{{n\left( {1 + \dfrac{3}{n}} \right)}}\) \( = \lim \dfrac{{\sqrt {1 + \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{{{n^2}}}} - \sqrt {4 - \dfrac{2}{{{n^2}}}} }}{{1 + \dfrac{3}{n}}}\) \( = \dfrac{{1 - 2}}{1} = - 1\).
Search google: "từ khóa + timdapan.com" Ví dụ: "Bài 4.4 trang 156 SBT đại số và giải tích 11 timdapan.com"