Bài 4.12 trang 157 SBT đại số và giải tích 11

Đề bài

Cho số thập phân vô hạn tuần hoàn \(a = 34,121212...\) (chu kì là \(12\)). Hãy viết \(a\) dưới dạng một phân số.

Lời giải chi tiết

\(\begin{array}{l}34,121212...\\ = 34 + 0,12 + 0,0012 + 0,000012 + ...\\ = 34 + \dfrac{{12}}{{100}} + \dfrac{{12}}{{10000}} + \dfrac{{12}}{{1000000}} + ...\\ = 34 + 12.\left( {\dfrac{1}{{{{10}^2}}} + \dfrac{1}{{{{10}^4}}} + \dfrac{1}{{{{10}^6}}} + ...} \right)\end{array}\)

Dãy \(\dfrac{1}{{{{10}^2}}},\dfrac{1}{{{{10}^4}}},\dfrac{1}{{{{10}^6}}},...\) là một cấp số nhân lùi vô hạn có \({u_1} = \dfrac{1}{{{{10}^2}}}\), công bội \(q = \dfrac{1}{{{{10}^2}}}\) nên \(\dfrac{1}{{{{10}^2}}} + \dfrac{1}{{{{10}^4}}} + \dfrac{1}{{{{10}^6}}} + ... \) \(= \dfrac{{{u_1}}}{{1 - q}}\) \(= \dfrac{{\dfrac{1}{{{{10}^2}}}}}{{1 - \dfrac{1}{{{{10}^2}}}}} = \dfrac{1}{{99}}\)

Vậy \(34,121212... = 34 + 12.\dfrac{1}{{99}} = \dfrac{{1126}}{{33}}\).