Bài 3.14 trang 66 đại số 10

Cho phương trình \((m + 2){x^2} + (2m + 1)x + 2 = 0\).

LG a

Xác định m để phương trình có hai nghiệm trái dấu và tổng hai nghiệm bằng -3.

Phương pháp giải:

Phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\) có 2 nghiệm \({x_1}\) và \({x_2}\) trái dấu khi và chỉ khi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a \ne 0}\\{\dfrac{c}{a} < 0}\end{array}} \right.\)

Tổng 2 nghiệm \({x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a}\)

Phương trình có nghiệm kép khi \(a \ne 0\) và \(\Delta  = 0\)\( \Leftrightarrow \Delta  = {b^2} - 4ac = 0\),

\({x_1} = {x_2} =  - \dfrac{b}{{2a}}\)

Lời giải chi tiết:

Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi \(m \ne  - 2\) và \(\dfrac{2}{{m + 2}} < 0\) suy ra \(m <  - 2\).

Tổng của hai nghiệm bằng -3 khi \( - \dfrac{{2m + 1}}{{m + 2}} =  - 3\)\( \Leftrightarrow m =  - 5\) thỏa mãn điều kiện \(m <  - 2\)

Đáp số: \(m =  - 5\).

LG b

Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm kép? Tìm nghiệm kép đó.

Phương pháp giải:

Phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\) có 2 nghiệm \({x_1}\) và \({x_2}\) trái dấu khi và chỉ khi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a \ne 0}\\{\dfrac{c}{a} < 0}\end{array}} \right.\)

Tổng 2 nghiệm \({x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a}\)

Phương trình có nghiệm kép khi \(a \ne 0\) và \(\Delta  = 0\)\( \Leftrightarrow \Delta  = {b^2} - 4ac = 0\),

\({x_1} = {x_2} =  - \dfrac{b}{{2a}}\)

Lời giải chi tiết:

Phương trình có nghiệm kép khi \(m \ne  - 2\) và \(\Delta  = 0\).

\(\Delta  = {(2m + 1)^2} - 8(m + 2) = 0\)\( \Leftrightarrow 4{m^2} - 4m - 15 = 0\)

\( \Leftrightarrow m = \dfrac{5}{2}\) hoặc \(m =  - \dfrac{3}{2}\).

Khi \(m = \dfrac{5}{2}\) nghiệm kép của phương trình là \(x =  - \dfrac{{2m + 1}}{{2(m + 2)}} =  - \dfrac{2}{3}\).

Khi \(m =  - \dfrac{3}{2}\) nghiệm kép của phương trình là \(x = 2\).