Bài 2.87 trang 135 SBT giải tích 12

Đề bài

Tìm tập hợp nghiệm của phương trình \(\displaystyle  \frac{{{{\log }_2}x}}{{{{\log }_4}2x}} = \frac{{{{\log }_8}4x}}{{{{\log }_{16}}8x}}\).

A. \(\displaystyle  \left\{ 2 \right\}\)                      B. \(\displaystyle  \left\{ {\frac{1}{4}} \right\}\)

C. \(\displaystyle  \left\{ {2;\frac{1}{4}} \right\}\)             D. \(\displaystyle  \left\{ {2;\frac{1}{{16}}} \right\}\)

Lời giải chi tiết

ĐK: \(\displaystyle  \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\{\log _4}2x \ne 0\\{\log _{16}}8x \ne 0\end{array} \right.\).

Khi đó, phương trình \(\displaystyle  \frac{{{{\log }_2}x}}{{{{\log }_4}2x}} = \frac{{{{\log }_8}4x}}{{{{\log }_{16}}8x}}\)\(\displaystyle   \Leftrightarrow {\log _2}x.{\log _{16}}8x = {\log _4}2x.{\log _8}4x\)

\(\displaystyle   \Leftrightarrow {\log _2}x.\frac{1}{4}{\log _2}8x\) \(\displaystyle   = \frac{1}{2}{\log _2}2x.\frac{1}{3}{\log _2}4x\)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \frac{{{{\log }_2}x.{{\log }_2}8x}}{4} = \frac{{{{\log }_2}2x.{{\log }_2}4x}}{6}\\
\Leftrightarrow 6{\log _2}x.{\log _2}8x = 4{\log _2}2x.{\log _2}4x\\
\Leftrightarrow 3{\log _2}x.{\log _2}8x = 2{\log _2}2x.{\log _2}4x\\
\Leftrightarrow 3{\log _2}x.\left( {{{\log }_2}8 + {{\log }_2}x} \right)\\
= 2\left( {{{\log }_2}2 + {{\log }_2}x} \right)\left( {{{\log }_2}4 + {{\log }_2}x} \right)
\end{array}\)

\(\displaystyle   \Leftrightarrow 3{\log _2}x.\left( {3 + {{\log }_2}x} \right)\)\(\displaystyle   = 2\left( {1 + {{\log }_2}x} \right)\left( {2 + {{\log }_2}x} \right)\)

\(\displaystyle   \Leftrightarrow 9{\log _2}x + 3\log _2^2x\) \(\displaystyle   = 2\left( {2 + 3{{\log }_2}x + \log _2^2x} \right)\)

\(\displaystyle   \Leftrightarrow \log _2^2x + 3{\log _2}x - 4 = 0\) \(\displaystyle   \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\log _2}x = 1\\{\log _2}x =  - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\x = \frac{1}{{16}}\end{array} \right.\left( {TM} \right)\)

Vậy tập nghiệm \(\displaystyle  \left\{ {2;\frac{1}{{16}}} \right\}\).

Chọn D.