Bài 2.70 trang 133 SBT giải tích 12

Giải các bất phương trình mũ sau:

LG a

\(\displaystyle {(8,4)^{\frac{{x - 3}}{{{x^2} + 1}}}} < 1\)

Phương pháp giải:

Biến đổi bất phương trình về cùng cơ số.

Lời giải chi tiết:

\(\displaystyle {(8,4)^{\frac{{x - 3}}{{{x^2} + 1}}}} < 1\)\(\displaystyle  \Leftrightarrow 8,{4^{\frac{{x - 3}}{{{x^2} + 1}}}} < 8,{4^0}\)\(\displaystyle  \Leftrightarrow \frac{{x - 3}}{{{x^2} + 1}} < 0 \)

\( \Leftrightarrow x - 3 < 0\) (vì \(x^2+1>0,\forall x\))

\(\Leftrightarrow x < 3\)

LG b

\(\displaystyle {2^{|x - 2|}} > {4^{|x + 1|}}\)

Phương pháp giải:

Biến đổi bất phương trình về cùng cơ số.

Lời giải chi tiết:

\(\displaystyle {2^{|x - 2|}} > {4^{|x + 1|}}\)\(\displaystyle  \Leftrightarrow {2^{|x - 2|}} > {2^{2|x + 1|}}\)\(\displaystyle  \Leftrightarrow |x - 2| > 2|x + 1|\)

\( \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} > 4{\left( {x + 1} \right)^2}\)

\(\displaystyle  \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 4 > 4({x^2} + 2x + 1)\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 4 > 4{x^2} + 8x + 4\)

\(\displaystyle  \Leftrightarrow 3{x^2} + 12x < 0\)\(\displaystyle  \Leftrightarrow  - 4 < x < 0\).

LG c

\(\displaystyle \frac{{{4^x} - {2^{x + 1}} + 8}}{{{2^{1 - x}}}} < {8^x}\)

Phương pháp giải:

Giải bất phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ.

Lời giải chi tiết:

\(\displaystyle \frac{{{4^x} - {2^{x + 1}} + 8}}{{{2^{1 - x}}}} < {8^x}\)

\( \Leftrightarrow {4^x} - {2^{x + 1}} + 8 < {8^x}{.2^{1 - x}}\) (vì \({2^{1 - x}} > 0\))

\(\displaystyle  \Leftrightarrow {2^{2x}} - {2.2^x} + 8 < {2^{3x}}{.2^{1 - x}}\)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow {2^{2x}} - {2.2^x} + 8 < {2^{2x + 1}}\\
\Leftrightarrow {2^{2x}} - {2.2^x} + 8 - {2^{2x + 1}} < 0\\
\Leftrightarrow {2^{2x}} - {2.2^x} + 8 - {2.2^{2x}} < 0\\
\Leftrightarrow - {2^{2x}} - {2.2^x} + 8 < 0
\end{array}\)

\(\displaystyle  \Leftrightarrow {2^{2x}} + {2.2^x} - 8 > 0\)

Đặt \(\displaystyle t = {2^x} > 0\) ta được: \(\displaystyle {t^2} + 2t - 8 > 0\) \(\displaystyle  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t <  - 4\\t > 2\end{array} \right.\).

Kết hợp với \(\displaystyle t > 0\) ta được \(\displaystyle t > 2\).

Suy ra \(\displaystyle {2^x} > 2 \Leftrightarrow x > 1\).

LG d

\(\displaystyle \frac{1}{{{3^x} + 5}} \le \frac{1}{{{3^{x + 1}} - 1}}\)

Phương pháp giải:

Giải bất phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ.

Lời giải chi tiết:

Đặt \(\displaystyle t = {3^x}\left( {t > 0} \right)\), ta có bất phương trình \(\displaystyle \frac{1}{{t + 5}} \le \frac{1}{{3t - 1}}\)

\(\displaystyle  \Leftrightarrow \frac{1}{{t + 5}} - \frac{1}{{3t - 1}} \le 0\)

\( \Leftrightarrow \frac{{3t - 1 - t - 5}}{{\left( {t + 5} \right)\left( {3t - 1} \right)}} \le 0\)

\(\displaystyle  \Leftrightarrow \frac{{2t - 6}}{{\left( {t + 5} \right)\left( {3t - 1} \right)}} \le 0\)

\(\displaystyle  \Leftrightarrow \frac{{2t - 6}}{{3t - 1}} \le 0\) (do \(\displaystyle t + 5 > 0\))

\(\displaystyle  \Leftrightarrow \frac{1}{3} < t \le 3\)

Do đó \(\displaystyle \frac{1}{3} < {3^x} \le 3 \Leftrightarrow  - 1 < x \le 1\) .

Vậy \(\displaystyle  - 1 < x \le 1\).