Bài 1.54 trang 21 SBT Giải tích 12 Nâng cao

Giải bài 1.54 trang 21 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số...


LG a

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số

\(y = {{ - x + 3} \over {2x + 1}}\)

Lời giải chi tiết:

+) TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{1}{2}} \right\}\)

+) Chiều biến thiên:

\(y' = \frac{{ - 1 - 3.2}}{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{ - 7}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} < 0,\) \(\forall x \in D\)

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ; - \frac{1}{2}} \right)\) và \(\left( { - \frac{1}{2}; + \infty } \right)\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } y =  - \frac{1}{2}\) nên TCN: \(y =  - \frac{1}{2}\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - \frac{1}{2}} \right)}^ + }} y =  + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - \frac{1}{2}} \right)}^ - }} y =  - \infty \) nên TCĐ: \(x =  - \frac{1}{2}\).

BBT:

+) Đồ thị:

Cắt trục hoành tại \(\left( {3;0} \right)\), cắt trục tung tại \(\left( {0;3} \right)\).


LG b

Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đường thẳng y = mx + m – 4 luôn đi qua một điểm cố định của đường cong (H)

Lời giải chi tiết:

Gọi \(A\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là điểm cố định mà đường thẳng \(y = mx + m - 4\) luôn đi qua.

Khi đó \({y_0} = m{x_0} + m - 4,\forall m\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow m{x_0} + m - 4 - {y_0} = 0,\forall m\\ \Leftrightarrow m\left( {{x_0} + 1} \right) - {y_0} - 4 = 0,\forall m\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} + 1 = 0\\ - {y_0} - 4 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} =  - 1\\{y_0} =  - 4\end{array} \right.\end{array}\)

\( \Rightarrow A\left( { - 1; - 4} \right)\).

Dễ thấy \(A\left( { - 1; - 4} \right) \in \left( H \right)\) vì \(\frac{{ - \left( { - 1} \right) + 3}}{{2.\left( { - 1} \right) + 1}} =  - 4\)

Vậy ta có đpcm.



Bài học liên quan

Từ khóa phổ biến