Bài 1.56 trang 21 SBT Giải tích 12 Nâng cao

LG a

Chứng minh rằng với mọi m > 0, hàm số

                    \(y = {{{mx^2} + (2m - 1)x - 1} \over {x + 2}}\)              

có cực đại và cực tiểu.

Lời giải chi tiết:

Ta viết hàm số đã cho dưới dạng

\(y = mx - 1 + {1 \over {x + 2}}\)

Khi đó

\(y' = m - {1 \over {{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = {{m{x^2} + 4mx + 4m - 1} \over {{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\)

\(\begin{array}{l}
y' = 0 \Leftrightarrow m{x^2} + 4mx + 4m - 1 = 0\\
\Delta ' = 4{m^2} - m\left( {4m - 1} \right) = m
\end{array}\)

Với  m > 0 thì \(\Delta ' >0\), phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt

\({x_1} =  - 2 - {1 \over {\sqrt m }};{x_2} =  - 2 + {1 \over {\sqrt m }}\)

Hàm số đạt cực đại tại \({x_1}\) và đạt cực tiểu tại \({x_2}\).

LG b

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m=1

Lời giải chi tiết:

Với \(m = 1\) ta được hàm số \(y = \frac{{{x^2} + x - 1}}{{x + 2}} = x - 1 + \frac{1}{{x + 2}}\)

+) TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}\)

+) Chiều biến thiên:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} y =  + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ - }} y =  - \infty \) nên TCĐ: \(x =  - 2\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \left[ {y - \left( {x - 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \frac{1}{{x + 2}} = 0\) nên TCX: \(y = x - 1\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}y' = 1 - \frac{1}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\\y' = 0 \Leftrightarrow 1 - \frac{1}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = 0\\ \Leftrightarrow \frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2} - 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x + 2} \right)^2} = 1\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 2 = 1\\x + 2 =  - 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\x =  - 3\end{array} \right.\end{array}\)

BBT:

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ; - 3} \right)\) và \(\left( { - 1; + \infty } \right)\).

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left( { - 3; - 2} \right)\) và \(\left( { - 2; - 1} \right)\).

Hàm số đạt cực đại tại \(x =  - 3,{y_{CD}} =  - 5\)

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x =  - 1\), \({y_{CT}} =  - 1\).

+) Đồ thị: