Bài 1.53 trang 21 SBT Giải tích 12 Nâng cao

Giải bài 1.53 trang 21 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số...


LG a

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số

\(y = {{2x + 1} \over {x + 1}}\)

Lời giải chi tiết:

+) TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\)

+) Chiều biến thiên:

\(y' = \frac{{2 - 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} > 0,\) \(\forall x \in D\)

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( { - 1; + \infty } \right)\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } y = 2\) nên TCN: \(y = 2\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} y =  - \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} y =  + \infty \) nên TCĐ: \(x =  - 1\).

BBT:

+) Đồ thị:

Cắt trục hoành tại \(\left( { - \frac{1}{2};0} \right)\), cắt trục tung tại \(\left( {0;1} \right)\).


LG b

Chứng minh rằng (H) nhận giao điểm I của hai đường tiệm cận của đồ thị làm tâm đối xứng.

Lời giải chi tiết:

Công thức chuyển hệ tọa độ theo véc tơ \(\overrightarrow {OI} \) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = X - 1\\y = Y + 2\end{array} \right.\)

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ IXY là:

\(\begin{array}{l}Y + 2 = \frac{{2\left( {X - 1} \right) + 1}}{{X - 1 + 2}}\\ \Leftrightarrow Y + 2 = \frac{{2X - 1}}{X}\\ \Leftrightarrow Y + 2 = 2 - \frac{1}{X}\\ \Leftrightarrow Y =  - \frac{1}{X}\end{array}\)

Đây là hàm số lẻ nên đồ thị nhận I làm tâm đối xứng.



Bài học liên quan

Từ khóa phổ biến