Bài 1.28 trang 38 SBT đại số và giải tích 11

Giải các phương trình sau

LG a

\({\cos}^2 x+2\sin x\cos x+5{\sin}^2 x=2\)

Phương pháp giải:

Phương pháp giải phương trình đẳng cấp đối với \(\sin\) và \(\cos\): \(a{\sin}^2 x+b\sin x\cos x+c{\cos}^2 x=d\)

Bước 1: Xét \(\cos x=0\) có là nghiệm của phương trình hay không?

Bước 2: Khi \(\cos x\ne0\)

- Chia cả 2 vế của phương trình cho \({\cos}^2 x\) ta được: \(a\dfrac{{\sin}^2 x}{{\cos}^2 x}+b\dfrac{\sin x}{\cos x}+c=\dfrac{d}{{\cos}^2 x}\)

- Sử dụng công thức \(\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}\); \(\dfrac{1}{{\cos}^2 x}={\tan}^2 x+1\) đưa phương trình về dạng: 

\(a{\tan}^2 x+b\tan x+c=d(1+{\tan}^2 x)\)\(\Leftrightarrow (a−d){\tan}^2 x+b\tan x+c−d=0\)

- Giải phương trình lượng giác cơ bản của \(\tan\):

\(\tan x=\tan \alpha\)

\(\Leftrightarrow x=\alpha+k\pi ,\in\mathbb{Z}\) và đối chiếu với điều kiện.

Lời giải chi tiết:

Ta có \({\cos}^2 x+2\sin x\cos x+5{\sin}^2 x=2\)

Thấy rằng \(\cos x=0\) không thỏa mãn phương trình. Với \(\cos x\ne 0\), chia hai vế của phương trình cho \({\cos}^2 x\) ta được

\(1+2\dfrac{\sin x}{\cos x} +5\dfrac{{\sin}^2 x}{{\cos}^2 x}=\dfrac{2}{{\cos}^2 x}\)

\(\Leftrightarrow 1+2\tan x+5{\tan}^2 x=2(1+{\tan}^2 x)\)

\(\Leftrightarrow 3{\tan}^2 x+2\tan x-1=0\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \tan x = -1\\\tan x=\dfrac{1}{3}\end{array} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x =-\dfrac{\pi}{4}+k\pi, k\in\mathbb{Z}\\x=\arctan\dfrac{1}{3}+k\pi ,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right. \)

LG b

\(3{\cos}^2 x-2\sin 2x+{\sin}^2 x=1\)

Phương pháp giải:

Phương pháp giải phương trình đẳng cấp đối với \(\sin\) và \(\cos\): \(a{\sin}^2 x+b\sin x\cos x+c{\cos}^2 x=d\)

Bước 1: Xét \(\cos x=0\) có là nghiệm của phương trình hay không?

Bước 2: Khi \(\cos x\ne0\)

- Chia cả 2 vế của phương trình cho \({\cos}^2 x\) ta được: \(a\dfrac{{\sin}^2 x}{{\cos}^2 x}+b\dfrac{\sin x}{\cos x}+c=\dfrac{d}{{\cos}^2 x}\)

- Sử dụng công thức \(\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}\); \(\dfrac{1}{{\cos}^2 x}={\tan}^2 x+1\) đưa phương trình về dạng: 

\(a{\tan}^2 x+b\tan x+c=d(1+{\tan}^2 x)\)\(\Leftrightarrow (a−d){\tan}^2 x+b\tan x+c−d=0\)

- Giải phương trình lượng giác cơ bản của \(\tan\):

\(\tan x=\tan \alpha\)

\(\Leftrightarrow x=\alpha+k\pi ,\in\mathbb{Z}\) và đối chiếu với điều kiện.

Lời giải chi tiết:

Ta có \(3{\cos}^2 x-2\sin 2x+{\sin}^2 x=1\)

Với \(\cos x=0\) ta thấy \(VT=VP=1\). Vậy phương trình có nghiệm \(x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi, k\in\mathbb{Z}\)

TH \(\cos x\ne 0\), chia hai vế của phương trình cho \({\cos}^2 x\) ta được

\(3-4\dfrac{\sin x}{\cos x} +\dfrac{{\sin}^2 x}{{\cos}^2 x}=\dfrac{1}{{\cos}^2 x}\)

\(\Leftrightarrow 3-4\tan x+{\tan}^2 x=1+{\tan}^2 x\)

\(\Leftrightarrow 4\tan x=2\)

\(\Leftrightarrow \tan x=\dfrac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow x=\arctan\dfrac{1}{2}+k\pi ,k\in\mathbb{Z}\)

Vậy nghiệm của phương trình là \(x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi, k\in\mathbb{Z}\) và \(x=\arctan\dfrac{1}{2}+k\pi ,k\in\mathbb{Z}\).

LG c

\( 4{\cos}^2 x-3\sin x\cos x+3{\sin}^2 x=1\)

Phương pháp giải:

Phương pháp giải phương trình đẳng cấp đối với \(\sin\) và \(\cos\): \(a{\sin}^2 x+b\sin x\cos x+c{\cos}^2 x=d\)

Bước 1: Xét \(\cos x=0\) có là nghiệm của phương trình hay không?

Bước 2: Khi \(\cos x\ne0\)

- Chia cả 2 vế của phương trình cho \({\cos}^2 x\) ta được: \(a\dfrac{{\sin}^2 x}{{\cos}^2 x}+b\dfrac{\sin x}{\cos x}+c=\dfrac{d}{{\cos}^2 x}\)

- Sử dụng công thức \(\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}\); \(\dfrac{1}{{\cos}^2 x}={\tan}^2 x+1\) đưa phương trình về dạng: 

\(a{\tan}^2 x+b\tan x+c=d(1+{\tan}^2 x)\)\(\Leftrightarrow (a−d){\tan}^2 x+b\tan x+c−d=0\)

- Giải phương trình lượng giác cơ bản của \(\tan\):

\(\tan x=\tan \alpha\)

\(\Leftrightarrow x=\alpha+k\pi ,\in\mathbb{Z}\) và đối chiếu với điều kiện.

Lời giải chi tiết:

Ta có \( 4{\cos}^2 x-3\sin x\cos x+3{\sin}^2 x=1\)

Thấy rằng \(\cos x=0\) không thỏa mãn phương trình. Với \(\cos x\ne 0\), chia hai vế của phương trình cho \({\cos}^2 x\) ta được

\(4-3\dfrac{\sin x}{\cos x}+3\dfrac{{\sin}^2 x}{{\cos}^2 x}=\dfrac{1}{{\cos}^2 x}\)

\(\Leftrightarrow 4-3\tan x+3{\tan}^2 x=1+{\tan}^2 x\)

\(\Leftrightarrow 2{\tan}^2 x-3\tan x+3=0 \text{(Vô nghiệm)}\)

Vậy phương trình vô nghiệm.