Bài 1.26 trang 37 SBT đại số và giải tích 11

Giải các phương trình

LG a

\(3{\cos}^2 x-2\sin x+2=0\)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức \({\sin}^2 x+{\cos}^2 x=1\) để rút gọn phương trình.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(3{\cos}^2 x-2\sin x+2=0\)

\(\Leftrightarrow 3(1-{\sin}^2 x)-2\sin x+2=0\)

\(\Leftrightarrow 3{\sin}^2 x+2\sin x-5=0\)

\(\Leftrightarrow (\sin x-1)(3\sin x+5)=0\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin x-1=0\\3\sin x+5=0\end{array} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin x=1\\\sin x=-\dfrac{5}{3}\text{(vô nghiệm)}\end{array} \right. \) 

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi ,k\in\mathbb{Z}\).

LG b

\(5{\sin}^2 x+3\cos x+3=0\)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức \({\sin}^2 x+{\cos}^2 x=1\) để rút gọn phương trình.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(5{\sin}^2 x+3\cos x+3=0\)

\(\Leftrightarrow 5(1-{\cos}^2 x)+3\cos x+3=0\)

\(\Leftrightarrow 5{\cos}^2 x-3\cos x-8=0\)

\(\Leftrightarrow (\cos x+1)(5\cos x-8)=0\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos x+1=0\\5\cos x-8=0\end{array} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos x=-1\\\cos x=\dfrac{8}{5}\text{(vô nghiệm)}\end{array} \right. \) 

\(\Leftrightarrow x=(2k+1)\pi ,k\in\mathbb{Z}\).

LG c

\({\sin}^6 x+{\cos}^6 x=4{\cos}^2 2x\)

Phương pháp giải:

Rút gọn phương trình bằng cách:

Thêm bớt \(VT\) để có hằng đẳng thức số 3.

Sử dụng công thức \({\sin}^2 x+{\cos}^2 x=1\).

Sử dụng công thức nhân đôi.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \({\sin}^6 x+{\cos}^6 x=4{\cos}^2 2x\)

\(\Leftrightarrow {({\sin}^2 x+{\cos}^2 x)}^3-\)

\(3{\sin}^2 x{\cos}^2 x({\sin}^2 x+{\cos}^2 x)\)

\(=4{\cos}^2 2x\)

\(\Leftrightarrow 1-\dfrac{3}{4}{\sin}^2 2x=4{\cos}^2 2x\)

\(\Leftrightarrow 1-\dfrac{3}{4}(1-{\cos}^2 2x)=4{\cos}^2 2x\)

\(\Leftrightarrow \dfrac{13}{4}{\cos}^2 2x=\dfrac{1}{4}\)

\(\Leftrightarrow 13{\left({\dfrac{1+\cos 4x}{2}}\right)}=1\)

\(\Leftrightarrow 1+\cos 4x=\dfrac{2}{13}\)

\(\Leftrightarrow \cos 4x=-\dfrac{11}{13}\)

\(\Leftrightarrow 4x=\pm\arccos {\left({-\dfrac{11}{13}}\right)}+k2\pi ,k\in\mathbb{Z}\)

\(\Leftrightarrow x=\pm\dfrac{1}{4}\arccos {\left({-\dfrac{11}{13}}\right)}+k\dfrac{\pi}{2} ,k\in\mathbb{Z}\).

LG d

\(-\dfrac{1}{4}+{\sin}^2 x={\cos}^4 x\).

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức nhân đôi để rút gọn phương trình.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(-\dfrac{1}{4}+{\sin}^2 x={\cos}^4 x\)

\(\Leftrightarrow- \dfrac{1}{4} + \dfrac{{1 - \cos 2x}}{2} = {\left( {\dfrac{{1 + \cos 2x}}{2}} \right)^2}\)

\(\Leftrightarrow -1+2-2\cos 2x=1+2\cos 2x+{\cos}^2 2x \)

\(\Leftrightarrow {\cos}^2 2x+4\cos 2x=0\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos 2x=0\\\cos 2x=-4\text{(vô nghiệm)}\end{array} \right. \)

\(\Leftrightarrow 2x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi ,k\in\mathbb{Z}\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{4}+k\dfrac{\pi}{2} ,k\in\mathbb{Z}\).