Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương 2, 3 - Đề số 4 - Đại số 10

Đề bài

Câu 1.

a. Vẽ đồ thị hàm số \(y =  - {x^2} + 4x - 3\) .

b. Xác định các giá trị của m để phương trình \({x^2} - 4\left| x \right| + m = 0\) có ít nhất ba nghiệm.

Câu 2.

a. Giải phương trình \({x^2} + {\left( {\dfrac{x}{{x + 1}}} \right)^2} = 3\)

b. Tìm m để phương trình \(\dfrac{{x + m - 1}}{{x + 1}} + \dfrac{{x - 2}}{x} = 2\) vô nghiệm.

Câu 3.Hai nghiệm x₁, x₂ của một phương trình bậc hai thoả mãn các hệ thức \({x_1} + {x_2} + {x_1}{x_2} = 0\) và \(\left( {m - 1} \right)\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - {x_1}{x_2} = 3m - 1\)

Lập phương trình bậc hai đó.

Câu 4. Xác định m để phương trình \(2x + \sqrt {x - 1}  = m - 1\) có nghiệm.

Lời giải chi tiết

Câu 1.

a. Hàm số \(y =  - {x^2} + 4x - 3\) có đồ thị là một parabol với

+ Đỉnh \(I(2;1)\)

+ Trục đối xứng \(x= 2\)

+ Cắt Oy tại \(\left( {0;3} \right)\) , cắt Ox tại \(\left( {0;1} \right)\)  và \(\left( {0;1} \right)\).

Đồ thị

b. Ta có \({x^2} - 4\left| x \right| + m = 0\)

\(\Leftrightarrow  - {x^2} + 4\left| x \right| - 3 = m - 3\) .

Phương trình trên là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y =  - {x^2} + 4\left| x \right| - 3\) và đường thẳng \(y = m - 3\) .

Hàm số \(y =  - {x^2} + 4\left| x \right| - 3\) là hàm số chẵn nên đồ thị đối xứng qua trục tung.

Khi \(x \ge 0\) thì hàm số trở thành \(y =  - {x^2} + 4x - 3\) .

Do đó đồ thị hàm số của hàm số \(y =  - {x^2} + 4\left| x \right| - 3\) bao gồm phần đồ thị hàm số \(y =  - {x^2} + 4x - 3\) ở bên phải trục tung và phần đối xứng của nó qua trục tung.

Theo đồ thị phương trình có ít nhất ba nghiệm khi và chỉ khi

\( - 3 \le m - 3 < 1 \Leftrightarrow 0 \le m < 4\) .

Câu 2.

a. Xét phương trình \({x^2} + {\left( {\dfrac{x}{{x + 1}}} \right)^2} = 3\)

Điều kiện xác định \(x + 1 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne  - 1\) .

Ta có:

\(\eqalign{  & {x^2} + {\left( {{x \over {x + 1}}} \right)^2} = 3 \cr&\Leftrightarrow {\left( {x - {x \over {x + 1}}} \right)^2} + 2x.{x \over {x + 1}} = 3  \cr  & {\rm{                           }} \Leftrightarrow {\left( {{{{x^2}} \over {x + 1}}} \right)^2} + 2.{{{x^2}} \over {x + 1}} - 3 = 0 \cr} \) .

Đặt \(t = \dfrac{{{x^2}}}{{x + 1}}\) , phương trình trở thành: \({t^2} + 2t - 3 = 0\)

\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{  t = 1 \hfill \cr  t =  - 3 \hfill \cr}  \right.\)

+) \(\dfrac{{{x^2}}}{{x + 1}} = 1 \Leftrightarrow {x^2} - x - 1 = 0\)

\(\Leftrightarrow x = \dfrac{{1 \pm \sqrt 5 }}{2}\)   (thỏa mãn điều kiện).

+) \(\dfrac{{{x^2}}}{{x + 1}} =  - 3 \Leftrightarrow {x^2} + 3x + 3 = 0\)  Vô nghiệm.

Vậy phương trình có hai nghiệm \(x = \dfrac{{1 \pm \sqrt 5 }}{2}\)

b.Xét phương trình \(\dfrac{{x + m - 1}}{{x + 1}} + \dfrac{{x - 2}}{x} = 2\)   (1).

Điều kiện xác định \(\left\{ \matrix{  x \ne  - 1 \hfill \cr  x \ne 0 \hfill \cr}  \right.\) .

Với điều kiện trên thì phương trình tương đương

\({x^2} + \left( {m - 1} \right)x + {x^2} - x - 2 = 2{x^2} + 2x\)

\(\Leftrightarrow \left( {m - 4} \right)x = 2\)      (2).

Phương trình (1) vô nghiệm khi và chỉ khi phương trình (2) vô nghiêm hoặc có nghiệm không thỏa mãn điều kiện.

+ Phương trình (2) vô nghiệm khi và chỉ khi \(m - 4 = 0 \Leftrightarrow m = 4\) .

+ Phương trình (2) có nghiệm khi và chỉ khi \(m - 4 \ne  \Leftrightarrow m \ne 4\) .

Khi đó nghiệm của (2) là \(x = \dfrac{2}{{m - 4}}\) .  Hiển nhiên \(\dfrac{2}{{m - 4}} \ne 0\)

Nghiệm này không thỏa mãn điều kiện khi và chỉ khi

\(\dfrac{2}{{m - 4}} =  - 1\)

\(\Leftrightarrow 2 =  - m + 4 \Leftrightarrow m = 2\)

Vậy phương trình (1) vô nghiệm khi và chỉ khi m= 4 hoặc m= 2.

Câu 3.

Xét hệ \(\left\{ \matrix{  {x_1} + {x_2} + {x_1}{x_2} = 0 \hfill \cr  \left( {m - 1} \right)\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - {x_1}{x_2} = 3m - 1 \hfill \cr}  \right.\)

Đặt \(S = {x_1} + {x_2},P = {x_1}{x_2}\) .

Hệ trở thành \(\left\{ \matrix{  S + P = 0 \hfill \cr  \left( {m - 1} \right)S - P = 3m - 1 \hfill \cr}  \right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{  mS = 3m - 1 \hfill \cr  P =  - S \hfill \cr}  \right.\)

Để hệ có nghiệm thì \(m \ne 0\) . Khi đó: 

\(\left\{ \begin{gathered}
S = \frac{{3m - 1}}{m} \hfill \\
P = - \frac{{3m - 1}}{m} \hfill \\
\end{gathered} \right.\)

Vậy phương trình bậc hai cần tìm là

\(\eqalign{  & {x^2} - {{3m - 1} \over m}x - {{3m - 1} \over m} = 0  \cr  &  \Leftrightarrow m{x^2} - \left( {3m - 1} \right)x - 3m + 1 = 0 \cr} \) .

Câu 4.

Xét phương trình \(2x + \sqrt {x - 1}  = m - 1\)    (1)

Điều kiện xác định: \(x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 1\) .

Đặt \(t = \sqrt {x - 1} ,t \ge 0\) . Phương trình trở thành

\(2\left( {{t^2} + 1} \right) + t = m - 1 \)

\(\Leftrightarrow 2{t^2} + t + 3 - m = 0\)   (2).

Phương trịnh (1) có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (2) có nghiệm \(t \ge 0\) .

Có hai trường hợp

+ Phương trình (2) có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện \({t_1} \le 0 \le {t_2}\)

\(P \leqslant 0 \Leftrightarrow \dfrac{{3 - m}}{2} \leqslant 0 \Leftrightarrow m \geqslant 3\)

+ Phương trình (2) có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện \(0 \le {t_1} \le {t_2}\)

\(\left\{ \matrix{  \Delta  \ge 0 \hfill \cr  S \ge 0 \hfill \cr  P \ge 0 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  1 - 8\left( {3 - m} \right) \ge 0 \hfill \cr   - \dfrac{1 }{ 2} \ge 0 \hfill \cr  \dfrac{3 - m}{ 2} \ge  \hfill \cr}  \right.\) . Không có m thỏa mãn các điều kiện này.

Vậy phương trình (1) có nghiệm khi \(m \ge 3\) .