Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương 2, 3 - Đề số 3 - Đại số 10

Đề bài

Câu 1.

a.Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số \(y = {x^2} + 4x\) .

b.Tìm các giá trị của m để phương trình \(\left| x \right|\left( {x + 4} \right) + m = 0\) có ba nghiệm phân biệt.

Câu 2.

a.Giải và biện luận phương trình \(\left| {mx + 2} \right| = \left| {2x - m} \right|\) .

b.Xác định m để phương trình \(\dfrac{{2x - m + 1}}{{\sqrt {x - 1} }} - 4\sqrt {x - 1}  = \dfrac{{x - 2m + 1}}{{\sqrt {x - 1} }}\) có nghiệm.

Câu 3. Cho phương trình \({x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 4m - 3 = 0{\rm{ (1)}}\) .

a.Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.

b.Xác định m để hai nghiệm x₁, x₂ của phương trình thỏa mãn điều kiện \(x_1^2 + x_2^2 = 14\) .

Lời giải chi tiết

Câu 1.

a. Xét hàm số \(y = {x^2} + 4x\).

Tập xác định \(\mathbb R\)

Đồ thị parabol có

+ Đỉnh \(I(-2;-4)\)

+ Trục đối xứng \(x= -2\)

+ Cắt Oy tại \((0;0)\), cắt Ox tại \((0;0)\) và \((-4;0).\)

Bảng biến thiên

Đồ thị

b.Ta có \(\left| x \right|\left( {x + 4} \right) + m = 0\)

\(\Leftrightarrow \left| x \right|\left( {x + 4} \right) =  - m\) .

Phương trình trên là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y = \left| x \right|\left( {x + 4} \right)\) và đường thẳng y= -m.

Ta có

\(y = \left| x \right|\left( {x + 4} \right)\)\(\; = \left\{ \matrix{  {x^2} + 4x{\rm{ \text{ khi } x}} \ge {\rm{0 }} \hfill \cr  {\rm{ - }}\left( {{x^2} + 4x} \right){\rm{\text{ khi }x < 0}} \hfill \cr}  \right.\).

Suy ra đồ thị hàm số này gồm phần đồ thị hàm số \(y = {x^2} + 4x\) khi \(x \ge 0\) và phần đối xứng với đồ thị này qua trục Ox khi \(x<0.\)

Theo đồ thị phương trình có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi

\(0 <  - m < 4 \Leftrightarrow  - 4 < m < 0\) .

Câu 2.

a.Ta có:\(\left| {mx + 2} \right| = \left| {2x - m} \right| \)

\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{  mx + 2 = 2x - m \hfill \cr  mx + 2 =  - 2x + m \hfill \cr}  \right.\)

Với: \(mx + 2 = 2x - m\)

\(\Leftrightarrow \left( {m - 2} \right)x =  - \left( {m + 2} \right)\)     (1)

+ \(m - 2 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 2\) : Phương trình (1) có nghiệm \(x =  - \dfrac{{m + 2}}{{m - 2}}\)

+ \(m - 2 = 0 \Leftrightarrow m = 2\) : Phương trình trở thành \(0x= -4\). Phương trình này cô nghiệm.

Với: \(mx + 2 =  - 2x + m \)\(\,\Leftrightarrow \left( {m + 2} \right)x = m - 2\)   (2)

+ \(m + 2 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne  - 2\) : Phương trình (2) có nghiệm \(x = \dfrac{{m - 2}}{{m + 2}}\)

+ \(m + 2 = 0 \Leftrightarrow m =  - 2\) : Phương trình trở thành \(0x =  - 4\) . Phương trình này vô nghiệm.

Ta có \( - \dfrac{{m + 2}}{{m - 2}} = \dfrac{{m - 2}}{{m + 2}}\)

\(\Leftrightarrow  - {\left( {m + 2} \right)^2} = {\left( {m - 2} \right)^2}\)

\(\Leftrightarrow 2{m^2} + 8 = 0\)

Phương trình này vô nghiệm nên khả năng này không xảy ra.

Kết luận:

\(m \ne  \pm 2\) : Hai nghiệm \(x_1 =  - \dfrac{{m + 2}}{{m - 2}},x_1 = \dfrac{{m - 2}}{{m + 2}}\)

\(m =  \pm 2\) : Một nghiệm \(x = 0\) .

b. Xét phương trình \(\dfrac{{2x - m + 1}}{{\sqrt {x - 1} }} - 4\sqrt {x - 1}  = \dfrac{{x - 2m + 1}}{{\sqrt {x - 1} }}\)

Điều kiện xác định \(x - 1 > 0 \Leftrightarrow x > 1.\)

Với điều kiện xác định đó thì phương trình tương đương

\(2x + m + 1 - 4\left( {x - 1} \right) = x - 2m + 1 \)

\(\Leftrightarrow 3x = 3m + 4 \)

\(\Leftrightarrow x = \dfrac{3m + 4}{ 3}\) .

Phương trình đã cho có nghiệm khi nghiệm trên thỏa mãn điều kiện \(x> 1\)

\(\dfrac{{3m + 4}}{3} > 1 \Leftrightarrow m >  - \dfrac{1}{3}\)

Kết luận: Phương trình có nghiệm khi \(m >  - \dfrac{1}{3}\)

Câu 3.

a. Xét phương trình \({x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 4m - 3 = 0{\rm{ (1)}}\).

Ta có \(\Delta ' = {\left( {m + 1} \right)^2} - \left( {4m - 3} \right) \)\(\,= {m^2} - 2m + 4 = {\left( {m - 1} \right)^2} + 3 > 0,\forall m\) .

Vậy phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.

b.Theo định lí Viet \({x_1} + {x_2} = 2\left( {m + 1} \right),{x_1}{x_2} = 4m - 3\) .

Suy ra \(x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} \)\(\,= 4{\left( {m + 1} \right)^2} - 2\left( {4m - 3} \right) = 4{m^2} + 10\) .

Do đó: \(x_1^2 + x_2^2 = 14 \Leftrightarrow 4{m^2} + 10 = 14\)

\(\Leftrightarrow {m^2} = 1 \Leftrightarrow m =  \pm 1\)