Đề kiểm tra 15 phút - Đề số 1 - Bài 9, 10 - Chương 1 - Hình học 8

Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi E, F lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ H xuống AB và AC.

a) Chứng minh EF = AH.

b) Kẻ trung tuyến AM của tam giác ABC. Chứng minh \(AM \bot EF.\)

Lời giải chi tiết

a) Dễ thấy AEHF là hình chữ nhật (có ba góc vuông)

\( \Rightarrow EF = AH\) (tính chất hai đường chéo của hình chữ nhật).

b) Ta có \(AM = MC = \dfrac{1 }{ 2}BC\) (đường trung tuyến của tam giác vuông bằng nửa cạnh huyền)

\( \Rightarrow \Delta AMC\) cân tại M nên \(\widehat {MAC} = \widehat C.\)

Mặt khác AEHF là hình chữ nhật (cmt)

\( \Rightarrow OA = OF\) hay \(\Delta AOF\) cân

\( \Rightarrow \widehat {OAF} = \widehat {OFA}\) mà \(\widehat {OAF} = \widehat B\) (cùng phụ với \(\widehat C\)) \( \Rightarrow \widehat {OFA} = \widehat B.\)  

\(\Delta ABC\) vuông tại A có \(\widehat B + \widehat C = {90^ \circ } \Rightarrow \widehat {OFA} + \widehat {MAC} = {90^ \circ }\)

Gọi I là giao điểm của AM và EF. Xét tam giác AIF có \(\widehat {IFA} + \widehat {IAF} = {90^ \circ }\)

\( \Rightarrow \widehat {AIF} = {90^ \circ }\) hay \(AI \bot IF\) 

Vậy \(AM \bot EF\) (đpcm)