Bài 64 trang 100 SGK Toán 8 tập 1

Đề bài

Cho hình bình hành \(ABCD\). Các tia phân giác của các góc \(A, B, C, D\) cắt nhau như trên hình \(91.\) Chứng minh rằng \(EFGH\) là hình chữ nhật. 

Lời giải chi tiết

Theo giả thiết \(ABCD\) là hình bình hành nên theo tính chất của hình bình hành ta có:

\(\widehat {DAB} = \widehat {DCB},\,\widehat {A{\rm{D}}C} = \widehat {ABC}\)          (1)

Theo định lí tổng các góc của một tứ giác ta có:

\(\widehat {DAB}\, + \widehat {DCB} + \,\widehat {A{\rm{D}}C} + \widehat {ABC} = {360^0}\)                (2)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \widehat {DAB} + \widehat {ABC}= \dfrac{{{{360}^0}}}{2} = {180^0}\)

Vì \(AG\) là tia phân giác \(\widehat {DAB}\) (giả thiết)

\( \Rightarrow \) \(\widehat {BAG} = \dfrac{1}{2}\widehat {DAB}\) (tính chất tia phân giác)

Vì \(BG\) là tia phân giác \(\widehat {ABC}\) (giả thiết)

\( \Rightarrow \)  \(\widehat {ABG} = \dfrac{1}{2}\widehat {ABC}\)

Do đó: \(\widehat {BAG} + \widehat {ABG} = \dfrac{1}{2}\left( {\widehat {DAB} + \widehat {ABC}} \right) \)\(= \dfrac{1}{2}{.180^0} = {90^0}\)

Xét \(\Delta AGB\) có:

\(\widehat {BAG} + \widehat {ABG} = {90^0}\)       (3)

Áp dụng định lí tổng ba góc trong một tam giác vào tam giác \(AGB\) ta có:

\(\widehat {BAG} + \widehat {ABG} + \widehat {AGB} = {180^0}\)            (4)

Từ (3) và (4) \( \Rightarrow\widehat {AGB} = {90^0}\)        

Chứng minh tương tự ta được: \(\widehat {DEC} = \widehat {EHG} = {90^0}\)

Tứ giác \(EFGH\) có ba góc vuông nên là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)