Câu hỏi 5 trang 89 SGK Hình học 12

Tìm số giao điểm của mặt phẳng \((α): x + y + z - 3 = 0 \) với đường thẳng \(d\) trong các trường hợp sau:

LG a

\(\eqalign{
& a)\,\,d:\left\{ \matrix{
x = 2 + t \hfill \cr 
y = 3 - t \hfill \cr 
z = 1 \hfill \cr} \right. \cr } \)

Phương pháp giải:

Cho đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + {a_1}t\\y = {y_0} + {a_2}t\\z = {z_0} + {a_3}t\end{array} \right.\) và mặt phẳng \(\left( \alpha  \right):Ax + By + Cz + D = 0\).

Xét phương trình \(A\left( {{x_0} + {a_1}t} \right) + B\left( {{y_0} + {a_2}t} \right) + C\left( {{z_0} + {a_3}t} \right) = 0\)

+) Nếu phương trình có nghiệm duy nhất \(t\) thì \(d\) cắt \(\left( \alpha  \right)\).

+) Nếu phương trình vô nghiệm thì \(d\) song song \(\left( \alpha  \right)\).

+) Nếu phương trình vô số nghiệm thì \(d\) nằm trong \(\left( \alpha  \right)\).

Lời giải chi tiết:

Xét phương trình: \((2 + t) + (3 - t) + 1 – 3 = 0\)

\(⇔ 3 = 0\) (vô nghiệm) ⇒ mặt phẳng \((α)\) và \(d\) không có điểm chung.

LG b

\(\eqalign{& b)\,\,d:\left\{ \matrix{
x = 1+2t \hfill \cr 
y = 1 - t \hfill \cr 
z = 1 - t \hfill \cr} \right. \cr } \)

Lời giải chi tiết:

Xét phương trình: \((1 + 2t) + (1 - t) + (1 - t) – 3 = 0\)

\(⇔ 0 = 0\) (vô số nghiệm) \(⇒ d \subset (α)\).

LG c

\(\eqalign{& c)\,\,d:\left\{ \matrix{
x = 1 + 5t \hfill \cr 
y = 1 - 4t \hfill \cr 
z = 1 + 3t \hfill \cr} \right. \cr} \)

Lời giải chi tiết:

Xét phương trình: \((1 + 5t) + (1 - 4t) + (1 + 3t) – 3 = 0\)

\(⇔ 4t = 0 ⇔ t = 0 \) ⇒ mặt phẳng \((α)\) và \(d\) có \(1\) điểm chung.