Câu 3.44 trang 92 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Đề bài

Cho cấp số cộng tăng \(({u_n})\) có \(u_1^3 + u_{15}^3 = 302094\) và tổng 15 số hạng đầu tiên bằng 585. Hãy tìm số hạng đầu tiên và công sai của cấp số cộng đó.

Lời giải chi tiết

Kí hiệu d là công sai của \({S_{15}}\) là tổng 15 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đã cho. Vì \(({u_n})\) là cấp số cộng tăng nên \(d > 0.\)

Ta có

\(585 = {S_{15}} = {{15.({u_1} + {u_{15}})} \over 2} \)

\(\Leftrightarrow {u_1} + {u_{15}} = 78 \Leftrightarrow 2{u_1} + 14d = 78\)

                                                                                \( \Leftrightarrow {u_1} + 7d = 39\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\)

\(\eqalign{
& u_1^3 + u_{15}^3 = 302094\cr& \Leftrightarrow {\left( {{u_1} + {u_{15}}} \right)^3} - 3{u_1}{u_{15}}.\left( {{u_1} + {u_{15}}} \right) = 302094 \cr 
& \Leftrightarrow {78^3} - 3{u_1}.\left( {{u_1} + 14d} \right).78 = 302094 \cr&\Leftrightarrow {u_1}.\left( {{u_1} + 14d} \right) = 737\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2) \cr} \)

Từ (1) và (2) ta được hệ

\(\left\{ \matrix{
{u_1} + 7d = 39 \hfill \cr 
{u_1}.\left( {{u_1} + 14d} \right) = 737 \hfill \cr} \right.\)

Giải hệ trên, với lưu ý \(d > 0\), ta được \({u_1} = 11\) và \(d = 4\)