Câu 3.32 trang 91 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ, cho đồ thị \(\left( C \right)\) của hàm số \(y = 3x - 2.\)

Với mỗi số nguyên dương n, gọi \({A_n}\) là giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng \(x = n\).

Xét dãy số \(({u_n})\) với \(u_n\) là tung độ của điểm \(A_n\). Chứng minh rằng dãy số \(({u_n})\) là một cấp số cộng. Hãy xác định số hạng đầu và công sai của cấp số cộng đó.

Lời giải chi tiết

Với mỗi số \(n \in N^*,\) vì điểm \({A_n}\) nằm trên đường thẳng \(x = n\) nên hoành độ của nó bằng n . Do \({A_n}\) nằm trên đồ thị (C) nên tung độ \({u_n}\) của nó được xác định bởi công thức

                                      \({u_n} = 3n - 2.\)

Như vậy, theo đề bài ta cần chứng minh dãy số \(({u_n})\), với \({u_n} = 3n - 2\), là một cấp số cộng.

Xét hiệu \({u_{n + 1}} - {u_n},\) ta có với mọi \(n \ge 1;\)

\({u_{n + 1}} - {u_n} = (3.(n + 1) - 2)\)\( - (3n - 2) = 3\).

Từ đó suy ra \(({u_n})\) là một cấp số cộng với số hạng đầu \({u_1} = 3.1 - 2 = 1\)  và công sai \(d = 3\).