Câu 3.33 trang 91 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Đề bài

Xét dãy số \(({u_n})\) xác định bởi \({u_1} = a\) và \({u_{n + 1}} = 5 - {u_n}\) với mọi \(n \ge 1,\) trong đó a là số thực.

Hãy xác định tất cả các giá trị của a để dãy số \(({u_n})\) là một cấp số cộng.

Lời giải chi tiết

Giả sử \(({u_n})\) là một cấp số cộng. Khi đó, tồn tại một hằng số d sao cho

\(\forall n \ge 1,{u_{n + 1}} - {u_n} = d.\,\,(1)\)

Từ hệ thức xác định dãy số \(({u_n})\) suy ra

\(\forall n \ge 1,{u_{n + 1}} - {u_n} = 5 - 2{u_n}.\,\,(2)\)

Từ (1) và (2) ta được \({u_n} = {{5 - d} \over 2}\) với mọi \(n \ge 1.\) Vì thế, \(({u_n})\) là một dãy số không đổi. Suy ra, phải có \({u_2} = a\) hay \(5 - a = a,\) dẫn tới \(a = {5 \over 2}.\)

Ngược lại, với \(a = {5 \over 2}\) dễ dàng chứng minh được \(u_n = {5 \over 2}\) với mọi \(n\ge 1\). Vì thế dãy số \((u_n)\) là một cấp số cộng với công sai \(d=0\).

Tóm lại, có duy nhất giá trị a cần tìm là \(a = {5 \over 2}\).