Câu 3.40 trang 92 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Đề bài

Cho cấp số cộng \(({u_n})\) và cho các số nguyên dương m, k với \(m < k\). Chứng minh rằng

                       \({u_k} = {{{u_{k - m}} + {u_{k + m}}} \over 2}.\)

Áp dụng. Hãy tìm một cấp số cộng có 7 số hạng mà số hạng thứ ba bằng 2 và tổng của số hạng đầu và số hạng cuối bằng 10.

Lời giải chi tiết

Kí hiệu d là công sai của cấp số cộng \(({u_n})\), ta có

\(\eqalign{
& {u_{k - m}} = {u_1} + (k - m - 1)d = {u_1} + (k - 1)d - md \cr&= {u_k} - md, \cr 
& {u_{k + m}} = {u_1} + (k + m - 1)d = {u_1} + (k - 1)d + md \cr&= {u_k} + md \cr} \)

Từ đó suy ra \({u_{k - m}} + {u_{k + m}} = 2{u_k}\) hay \({u_k} = {{{u_{k - m}} + {u_{k + m}}} \over 2}.\)

Áp dụng. Với mỗi \(n \in \left\{ {1,2,3,4,5,6,7} \right\},\) kí hiệu \({u_n}\) là số hạng thứ n của cấp số cộng cần tìm. Theo giả thiết cả bài ra, ta có \({u_3} = 2\) và \({u_1} + {u_7} = 10\)

Áp dụng kết quả đã chứng minh ở trên cho \(m = 3\) và \(k = 4,\) ta được

                                \({u_4} = {{{u_1} + {u_7}} \over 2} = {{10} \over 2} = 5\)

Suy ra \(d = {u_4} - {u_3} = 5 - 2 = 3.\) Do đó

\({u_1} = {u_3} - 2d = 2 - 2.3 =  - 4,\)

\({u_2} = {u_1} + d =  - 4 + 3 =  - 1,\)

\({u_5} = {u_4} + d = 5 + 3 = 8\)

\({u_6} = {u_5} + d = 8 + 3 = 11\) và \({u_7} = {u_6} + d = 11 + 3 = 14\)